834《高等代数》考试大纲

阳光高考    来源: 阳光高考门户      2016-10-30         
文章标签: [考试大纲]   [高等代数]  

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《高等代数》考试大纲

科目名称:高等代数                               

科目代码:834

一、 考试目的

本考试大纲适用于报考河南工业大学理学院数学专业的硕士研究生《高等代数》科目的入学考试。它的主要目的是测试考生是否系统地学习和掌握了高等代数的知识,代数的思维方式,以及现代数学的思想和方法.要求考生具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。

二、考试的性质与范围

  本考试是一种测试应试者综合运用所学的《高等代数》的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本的概念,理论和方法,考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。

三、考试基本要求

  1. 熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理;

  2. 综合运用所学的高等代数的知识的能力

四、考试形式

  闭卷

五、考试题型

  计算题、证明题

六、考试内容(或知识点)

  1.多项式

  数域,一元多项式,整除的概念,最大公因式,因式分解定理,重因式,复系数与实系数多项式的因式分解,有理系数多项式。

  2、行列式

  排列,n级行列式的定义和性质,行列式按一行(列)展开,克拉默(Cramer)法则,范德蒙行列式,拉普拉斯(Laplace)定理,k级子式。

  3. 线性方程组

  消元法,n维向量空间,线性相关性,向量组和矩阵的秩,线性方程组有解判别定理,线性方程组解的结构。

  4. 矩阵

  矩阵的概念,矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式与秩,矩阵的逆,矩阵的分块,初等矩阵,矩阵的等价,分块矩阵乘法的初等变换,对称矩阵和反对称矩阵,正交矩阵,施密特正交化过程。

  5. 二次型

  线性替换,n元二次型,二次型的矩阵,标准型,规范形,惯性定理,正定(半正定)二次型。

   6. 线性空间

  集合、映射,线性空间的定义与简单性质,维数、基与坐标,基变换与坐标变换,线性子空间,子空间的交与和,子空间的直和,线性空间的同构。

  7. 线性变换

  线性变换的定义,线性变换的运算,线性变换的矩阵,特征值与特征向量,线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件,线性变换的值域与核,不变子空间。

   8. λ-矩阵

  λ-矩阵的定义,λ-矩阵在初等变换下的标准型,不变因子,矩阵相似的条件,初等因子,若当(Jordan)标准形,最小多项式。

   9. 欧几里得空间

  定义与基本性质,标准正交基,同构,子空间,正交变换的定义和性质,对称变换的定义和性质。

七、参考书目

(1) 高等代数. 北京大学数学系. 高等教育出版社,出版年2003.

八、样卷(附后)

河南工业大学

2015年硕士研究生入学考试试题

考试科目: 837高等代数(A)                     共   2   页(第  1  页)      

注意:1、本试题纸上不答题,所有答案均写在答题纸上

      2、本试题纸必须连同答题纸一起上交。

一、(15分)计算行列式 。

二、(15分)设 是 矩阵, 是齐次线性方程组 的基础解系, 是齐次线性方程组 的一个解,证明:

  (1) 线性无关;

  (2)  的任意一个解可以由 线性表示。

三、(15分)已知 为3阶矩阵,且满足 ,其中 为3阶单位矩阵。

 证明 可逆; 若 ,求矩阵 。

四、(15分)已知 为4阶矩阵,若满足 ,且行列式 。

 求矩阵 的特征值; 证明矩阵 可相似对角化; 计算行列式 。

五、(15分)设有三元二次型 ,其矩阵 主对角线元素之和为 ,且满足 ,其中 。

(1)用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换;

(2)求此二次型; (3)求 。

六、(15分)设 与 分别是齐次线性方程组 与 的解空间,http://www.xuecan.net/其中 是 中的一组给定的满足       的数,证明: 。

七、(15分)若 是 阶矩阵,当有一个常数项不为零的多项式 ,使 ,则 的特征值一定全不为 。

八、(15分)设 ,求 。

九、(15分)设 是 维线性空间, 是 的子空间,如果 .

证明:存在线性变换  ,使 。

十、(15分)证明:如果 则 。

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