惠州市2014届高三第二次调研考试试题

数 学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项： 

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1. 已知集合，集合，表示空集，那么（     ）

A．            B．           C．           D．

2. 命题“存在实数，使”的否定为（     ）

A．对任意实数，都有   B．不存在实数，使

C．对任意实数，都有   D．存在实数，使

3. 双曲线的离心率为（     ）

A．             B．             C．             D． 

4. 直线与圆的位置关系是（     ）

A．相切                             B．相交且直线不经过圆心           

C．相离                             D．相交且直线经过圆心

5. 已知，，若，则等于（     ）

A．            B．            C．              D．

6. 函数的定义域为（     ）

A．        B．         C．        D． 

7. 已知等差数列的前项和为，若，，则为（     ）

A．            B．             C．            D．

8. 已知函数的部分

图像如图所示，则的值分别为（     ）

A．        B．  

C．        D．

9．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：

①若           ②若

③若          ④若

其中真命题的序号为（     ）

A．①②          B．②③             C．③④            D．①④              

10. 设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合.则集合表示的平面区域是（     ）

A．三角形区域                         B．四边形区域

C．五边形区域                         D．六边形区域

二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）

（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11.复数的虚部为__________．

12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.

13.设变量满足约束条件，则的

最大值为_________.

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下，圆的圆心到直线的距离为         ．

15.（几何证明选讲选做题）如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，且，，则的长为　　　． 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的最小正周期和最值；

（2）求函数的单调递减区间．

17．（本小题满分12分）

对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：

（1）求出表中的值；

（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于次的学生中任选人，求至少一人参加社区服务次数在区间内的概率．

18.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥中，底面, 

为的中点, .

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离。

19.（本小题满分14分）

已知数列的前项和是，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求适合方程 的正整数的值．

20.（本小题满分14分）

已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3.   

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点、，当时，求的取值范围. 

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；

（2）若，函数在区间内有唯一零点，求的取值范围；

（3）若对任意的，均有，求的取值范围．

惠州市2014届高三第二次调研考试试题答案

 数学（文科）          

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号12345678910答案  1．，所以，选；

2．【解析】特称命题的否定为：对任意实数，都有，选；

3．【解析】由可知，  所以，离心率，选

4．【解析】圆心到直线的距离为 ，而圆的半径为， 距离等于半径，所以直线与圆相切，选；

5．【解析】由得，解得， 选；

6．【解析】要使解析式有意义，必须满足，解得，选；

7．【解析】，即，得，据等差数列前项和公式得，选

8．【解析】据五点法可得，解得，，选；

9．【解析】若则与的位置关系不能确定，所以命题①错误，

若，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选；

10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线

  的一个三等分点，如图所示，图中六边形

区域为集合所表示的平面区域，选。

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分）          12．．．．，可得虚部为；

12．【解析】第一次循环：； 第二次循环：；；

第三次循环：，；跳出循环，输出；

13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点时；

的值最大，即；

14．【解析】化为普通方程为，可知圆心坐标为，化为普通方程为，；

15．【解析】据切割线定理可得，即，

解得或，舍去，所以。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本小题满分12分）解…………………………3分

                          …………………………4分

当即时，取最大值2；…………5分

当即时，取最小值-2…………6分

（2）由，      ………………………8分

得 ………………………10分

∴单调递减区间为.       ………………………12分

17．（本题满分12分）（1），所以                    ……………2分

又因为，所以                        ……………3分，                            ……………4分（）内的学生为，参加社区服务的次数在内的学生为 ；                          ……………5分名学生的结果为： 

 共种情况  ；                ……………8分内的情况有

，共种情况…10分内的概率为 .                                       ……………12分（1）平面，平面，

所以     …………2分

中，，为的中点，

所以  …………4分

平面，平面，且，

所以平面………6分（）平面且平面

        所以平面平面，         ……………8分平面，

所以点到的距离即为点到平面的距离，    ……………10分中，由             ……………11分               ……………13分到平面的距离为 . ………………………14分到平面的距离为， 据    ………8分，得………………………13分到平面的距离为 . ………………………14分（本小题满分1分）……………………1分

…………………2分

∴，

  ∴              …………………………………………5分

…………………………………6分

…………………………………………7分

（2），……………9分

 …………………………………………11分

……13分

，   …………………………………………14分，………………………….2分

则右焦点的坐标为，       ………………………….3分

由题意得，解得，

故所求椭圆的标准方程为.       ………………………….5分

（2）设、、，其中为弦的中点，

由，得…………………….7分

因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以

即    ①，                       ………………………….8分

，所以，

从而 ,                   ………………………….9分

所以，              ………………………….10分

又，所以，

因而，即   ②， ……………………….11分

把②式代入①式得，解得，  ………………………….12分

由②式得，解得，       ………………………….13分

综上所述，求得的取值范围为.    ………………………….14分

21．（本题满分14分），所以，得.………………2分，所以，得.………………3分所以， .………………4分时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增             ………………5分，可知在区间内有唯一零点等价于

或，                              .………………7分或.                               .………………8分，均有，等价于

   在上的最大值与最小值之差             ……………10分（ⅰ） 当时，在上，在上单调递增，

             由，得，

             所以                              .………………9分时，由得

由得或

所以，同理        .………………10分 当，即时，，与题设矛盾；

.………………11分 当，即时，恒成立；……………12分 当，即时，恒成立；

.………………13分的取值范围为.                      .………………14分

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