惠州市2014届高三第二次调研考试试题
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1. 已知集合 ，集合 ， 表示空集，那么 （ ）
A． B． C． D．
2. 命题“存在实数 ，使 ”的否定为（ ）
A．对任意实数 ，都有 B．不存在实数 ，使
C．对任意实数 ，都有 D．存在实数 ，使
3. 双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4. 直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交且直线不经过圆心
C．相离 D．相交且直线经过圆心
5. 已知 ， ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6. 函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数 的部分
图像如图所示，则 的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若 ②若
③若 ④若
其中真命题的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10. 设 是正 及其内部的点构成的集合，点 是 的中心，若集合 .则集合 表示的平面区域是（ ）
A．三角形区域 B．四边形区域
C．五边形区域 D．六边形区域
二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）
（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11.复数 的虚部为__________．
12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.
13.设变量 满足约束条件 ，则 的
最大值为_________.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下，圆 的圆心到直线 的距离为 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，圆 是 的外接圆，过点 的切线交 的延长线于点 ，且 ， ，则 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和最值；
（2）求函数 的单调递减区间．
17．（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：
（1）求出表中 的值；
（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 次的学生中任选 人，求至少一人参加社区服务次数在区间 内的概率．
18.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ,
为 的中点, .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离。
19.（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和是 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求适合方程 的正整数 的值．
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为 ，焦点在 轴上，若右焦点到直线 的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点 、 ，当 时，求 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）若函数 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 ，函数 在区间 内有唯一零点，求 的取值范围；
（3）若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围．
惠州市2014届高三第二次调研考试试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．【解析】因为 ，所以 ，选 ；
2．【解析】特称命题的否定为：对任意实数 ，都有 ，选 ；
3．【解析】由 可知 ， 所以 ，离心率 ，选
4．【解析】圆心 到直线 的距离为 ，而圆的半径为 ， 距离等于半径，所以直线与圆相切，选 ；
5．【解析】由 得 ，解得 ， 选 ；
6．【解析】要使解析式有意义，必须满足 ，解得 ，选 ；
7．【解析】 ，即 ，得 ，据等差数列前 项和公式 得 ，选
8．【解析】据五点法可得 ，解得 ， ，选 ；
9．【解析】若 则 与 的位置关系不能确定，所以命题①错误，
若 ，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选 ；
10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线
的一个三等分点，如图所示，图中六边形
区域为集合 所表示的平面区域，选 。
二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分）
11． 12． 13． 14． 15．
11．【解析】由 ，可得虚部为 ；
12．【解析】第一次循环： ； 第二次循环： ；；
第三次循环： ， ；跳出循环，输出 ；
13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点 时；
的值最大，即 ；
14．【解析】 化为普通方程为 ，可知圆心坐标为 ， 化为普通方程为 ， ；
15．【解析】据切割线定理可得 ，即 ，
解得 或 ，舍去 ，所以 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）
解：（1） …………………………3分
…………………………4分
当 即 时， 取最大值2；…………5分
当 即 时， 取最小值-2…………6分
（2）由 ， ………………………8分
得 ………………………10分
∴单调递减区间为 . ………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）因为 ，所以 ……………2分
又因为 ，所以 ……………3分
所以 ， ……………4分
（2）设参加社区服务的次数在 内的学生为 ，参加社区服务的次数在 内的学生为 ； ……………5分
任选 名学生的结果为：
共 种情况 ； ……………8分
其中至少一人参加社区服务次数在区间 内的情况有
，共 种情况…10分
每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间 内的概率为 . ……………12分
18.（本小题满分14分）
证明：（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 …………2分
又因为在 中， ， 为 的中点，
所以 …………4分
又 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ………6分
（2）法一：因为 平面 且 平面
所以平面 平面 ， ……………8分
又因为平面 平面 ，
所以点 到 的距离 即为点 到平面 的距离， ……………10分
在直角三角形 中，由 ……………11分
得 ……………13分
所以点 到平面 的距离为 . ………………………14分
法二：设点 到平面 的距离为 ， 据 ………8分
即 ，得 ………………………13分
所以点 到平面 的距离为 . ………………………14分
19．（本小题满分14分）
（1） 当 时， ，由 ，得 ……………………1分
当 时，∵ ， ， …………………2分
∴ ，即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．…………………………………6分
故 …………………………………………7分
（2） ， ……………9分
…………………………………………11分
……13分
解方程 ，得 …………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
解: （1）依题意可设椭圆方程为 ，………………………….2分
则右焦点 的坐标为 ， ………………………….3分
由题意得 ，解得 ，
故所求椭圆的标准方程为 . ………………………….5分
（2）设 、 、 ，其中 为弦 的中点，
由 ，得 …………………….7分
因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以
即 ①， ………………………….8分
，所以 ，
从而 , ………………………….9分
所以 ， ………………………….10分
又 ，所以 ，
因而 ，即 ②， ……………………….11分
把②式代入①式得 ，解得 ， ………………………….12分
由②式得 ，解得 ， ………………………….13分
综上所述，求得 的取值范围为 . ………………………….14分
21．（本小题满分14分）
(1) ，所以 ，得 .………………2分
又 ，所以 ，得 .………………3分
（2） 因为 所以 ， .………………4分
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增 ………………5分
又 ，可知 在区间 内有唯一零点等价于
或 ， .………………7分
得 或 . .………………8分
(3) 若对任意的 ，均有 ，等价于
在 上的最大值与最小值之差 ……………10分
（ⅰ） 当 时，在 上 ， 在 上单调递增，
由 ，得 ，
所以 .………………9分
（ⅱ）当 时，由 得
由 得 或
所以 ，同理 .………………10分
当 ，即 时， ，与题设矛盾；
.………………11分
当 ，即 时， 恒成立；……………12分
当 ，即 时， 恒成立；
.………………13分
综上所述， 的取值范围为 . .………………14分
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