二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)

简答与提示：

13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.

【试题解析】由题意可知常数项为.

14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题. 

【试题解析】由题意，所以.

15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度. 

【试题解析】由题意，面积最小的截面是以为直径，可求得，进而截面面积的最小值为. 

16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题. 

【试题解析】由题意可知是周期为4的偶函数，对称轴为直线. 若恰有4个零点，有，解得. 

三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)

17. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 

【试题解析】解：(1)               (3分)

                             (6分)

(2)因为，而，且为锐角，可求得.                             (9分)

所以在△中，由正弦定理得，.      (12分)

18. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.

【试题解析】(1)由图可知，.      (4分)

(2)  利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人.                (6分)

从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和，

则的所有可能取值为：150，200，250，300.      

，     ，

， ，

             (10分)

且.    (12分)

19. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 

【试题解析】解：(1) 取中点，连结、，

是中点，，

又，，四边形为平行四边形

，平面，，

，，平面，

平面，平面平面.              (6分)

(2) 存在符合条件的.以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，，，

从而，，则平面的法向量为，

又平面即为平面，其法向量，

则，

解得或，进而或.                           (12分)

20. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 

【试题解析】解：(1) 已知，且,，其中为内切圆半径，化简得：，顶点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中

进而其方程为.                               (5分)

(2) ，以下进行证明：

当直线斜率存在时，设直线且，，

联立可得，.   (8分)

由题意：，，.

当直线斜率不存在时，，

综上可得.                      (12分)

21.  (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.

【试题解析】解：(1) 对求导得：，根据条件知，所以.                              (3分)

(2) 由(1)得，

.

① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；

②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；

③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，

即而且仅有.

综上可知，所求实数的取值范围是.                       （8分）
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