2017年唐山一模文科数学及答案(6)
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来源: 阳光高考门户 唐山一模 2024-03-16
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(21)解:
(Ⅰ)f¢(x)=2cosx+cos2x-a, …3分
由f¢(0)=0得a=3. …4分
(Ⅱ)x∈[0,2),cosx∈(0,1].
令t=cosx,则f¢(x)=g(t)=2t+t2-a,t∈(0,1],
g¢(t)=2-t3≤0,当且仅当t=1时取等号,
故t∈(0,1]时,g(t)单调递减,g(t)≥g(1)=3-a. …7分
(ⅰ)若a≤3,则f¢(x)≥0,仅当x=0时取等号,
f(x)单调递增,f(x)≥f(0)=0. …8分
(ⅱ)若a>3,令h(x)=3tanx-ax,
h¢(x)=cos2x-a,存在x0∈[0,2),使得h¢(x0)=0,
且当x∈(0,x0)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减,
h(x)<h(0)=0,
因为x∈[0,2),sinx≤tanx,所以f(x)≤3tanx-ax,
故存在β∈(0,x0),f(β)<0,即f(x)≥0不能恒成立,所以a>3不合题意.
综上所述,a的取值范围是(-∞,3]. …12分
(22)解:
(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,将y=-2+tsinφ代入x2+y2=1得
t2-4tsinφ+3=0(*)
由16sin2φ-12>0,得|sinφ|>2,又0≤φ<p,
所以,φ的取值范围是(p3,p3); …5分
(Ⅱ)由(*)可知,2=2sinφ,代入y=-2+tsinφ中,
整理得P1P2的中点的轨迹方程为
y=-1-cos2φ (φ为参数,p3<φ<p3) …10分
(23)解:
(Ⅰ)x+y=xy=xy≥xy=2,
当且仅当x=y=1时,等号成立.
所以x+y的最小值为2. …5分
(Ⅱ)不存在.
因为x2+y2≥2xy,
所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y),
又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.
从而有(x+1)(y+1)≤[2]2=4,
因此不存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5. …10分
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