2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学参考答案与评分标准

故， …13分[]

所以数列的前n项和．                                 ……14分

16. 解：（1）因为a·b =2 + sinθcosθ = , 所以sinθcosθ = ，所以（sinθ +cosθ2 = 1+2sinθcosθ = ．

又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ = ．因为a∥b，所以tanθ = 2，所以sin2θ = 2sinθcosθ = = = ，cos2θ = cos2θ-sin2θ =  =  = — ．所以sin(2θ+ ) = sin2θ + cos2θ = = ．（1）时，,                ……2分

由图象可知，的单调递增区间为．                  ……4分

（2），所以．……6分

当，即时，；                   ……7分

当，即时，．                          ……8分

．                                         ……9分

（3）①当时，图象如图1所示．

由得．            ……12分

②当时，图象如图2所示．

由得．            ……14分

18. 解：（1）延长BD、CE交于点A，则，则．

．          ……4分

（2）

         ……6分

当，即时，

．                 ……8分

（3）令，  ……10分

则，

，令得，，                  ……12分

在上是减函数，在上是增函数，

，PQmax = 2，               ……14分

此时，P点在B处，Q点在E处。        ……16分

19. 解：（1）由已知，，所以，

两式相减得，，解得，                      ……3分

又，解得，                                   ……5分

故                                                     ……6分

（2）由（1），知  ……7分

①，       ……8分

，

   ……10分

故                                                ……11分

②假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，

则，即．                        ……13分

因为成等差数列，所以，（）代入上式得： ，（）[]

由（），（），得，这与题设矛盾．                             ……15分

所以，在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列．

                                                                      ……16分

20. 解：（1）                                 ……2分

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以．                                    ……4分[学科]

（2）因为，所以，                 ……5分

因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，，有=，（）           ……6分

又当时有，                             ……7分

综上                                                         ……8分

（3）∵，又，

∴，两式相减，得， 

∴,                                         ……10分

于是

．                           ……11分

．

要证：，只需证：

只需证：．令，化为 即可．，…14分

在（0，1）上单调递增，     ……15分

，即．．