2013年
北京高考理科
数学最后预测卷及其答案免费下载
俯视图
侧视图
正视图 2
2
2
2
4
3 3
一、 选择题（共40分，每小题 5分)
1. 如图所示的韦恩图中，
AB ，
是非空集合，定义
AB
表示阴影部分集合．若
, x y R
，
2
2 A x y x x
，
3 , 0 x
B y y x
，则
AB
=（ ）．
A．
(2, )
B．
0,1 (2, )
C．
0,1 (2, )
D．
0,1 [2, )
2. 已知命题 ，那么命题 为（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知数列 { }满足 ，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C．5 D．
4. 已知四棱锥
P ABCD
的三视图如图1所示，则四棱锥
P ABCD
的四个侧面中面
积最大的是( )
A．
6
B．
8
C．
25
D．
3
5. 两直线
和
cos( ) a
的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
6. 函数
( )= sin( ) f x M x
（
M ， ，
是常数
0 M
，
0
，
0
）的部分图像如
图所示，其中
AB ，
两点之间的距离为 5，那么
( 1) f
（ ）
A．2 B．
1
C．
2
D．
1
或
2
: ,2 0 x
p x R p ,2 0 x
xR ,2 0 x
xR ≤ ,2 0 x
xR ≤ ,2 0 x
xR n a *
3 3 1 log 1 log ( ) nn a a n N 2 4 6 9 aaa 1 5 7 9
3
log ( ) a a a 1
5
5 1
5
7. 抛物线
2
8 yx
的焦点为F,O为坐标原点,若抛物线上一点
P
满足
: 3 : 2 PF PO
则
POF △
的面积为（ ）
A．
22
B．
23
C．
42
D．
43
8. 定义在R上的函数 满足 ，当 [0， 2]时， ．
在 上的最小值为-1，则
n
A．5 B．4 C．3 D．2
二、 填空题（共30分，每小题 5分）
9. 如果执行下面的框图，输入
5 N
，则输出的数等于_______
10. 6 名教师带队去植树，每队有两名带队教师，则甲、乙两名教师必须分在同一队的概
率是_______
11. 若变量
xy ，
满足
2 1 0
20
1
xy
xy
x
≥
，则点
2 P x y x y ，
表示区域的面积为 _______
-2
2
1
o
y
x
B
A
() fx ( 2) 2 ( ) f x f x x ( ) (3 1)(3 9)
xx
fx () fx [ 2 , 2 2] nn () nN
C
B
O
D M
A
12. 如图,已知四边形
ABCD
内接于
o
，且
AB
是的
o
直径，过点
D
的
o
的切线与
BA
的延长线交于点
M
，若
6 MD
，
12 MB
,
AB
的长________；若
AM AD
，
DCB ∠
_______
13. 函数
() fx
的定义域为
D
,若满足：①
() fx
在
D
内是单调函数,②存在
, a b D
,使
() fx
在
, ab
上 的 值 域 为
, ba
, 那么
() y f x
叫 做 对 称 函 数 , 现有
k x x f 2 ) (
是对称函数, 那么
k
的取值范围是_____________．
14. 如图所示：有三根针和套在一根针上的 n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针
上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的
金属片上面．将n个金属片从 1号针移到3 号针最少需要移
动的次数记为 ；
则（Ⅰ） ________(Ⅱ) ________
【答案】7（3分）
（2分）
三、 解答题（共80分）
15. （本题共13分）
已知复数
12 sin , (sin 3 cos ) z x i z x x i
(
,, x R i
为虚数单位)
（1）若
12 2z z i
，且
(0, ) x
，求
x
与
的值；
（2）设复数
12 , zz
在复平面上对应的向量分别为
12 , OZ OZ
，若
12 OZ OZ
，且
() fx
，求
() fx
的最小正周期和单调递减区间．
() fn (3) f () fn (2)2 1 n
第 14 题图
F
E
D C
B A
P
16. （本题共14 分）
如图，在四棱锥
P ABCD
中，
PA AD ⊥
，
AB CD ∥
，
CD AD ⊥
，
22 AD CD AB
，
EF ，
分别为
PC CD ，
的中点，
DE EC
（1）求证：平面
ABE⊥
面积
BEF
（2）设
PA a
，若平面
EBD
与平面
ABCD
所成锐二面角
43
，
，求
a
的取值范围
17. （本题共13分）
PM2．5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也
称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012, PM2．5日均值在35 微克/立方
米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级；在
75 微克/立方米以上空气质量为超标．
从自然保护区2012年全年全天的PM2． 5监测数据中随机抽取12天的数据作为样本，
检测值如茎叶图所示：
PM2．5日均值
（微克/立方米）
25 35 ，
35 45 ，
45 55 ，
55 65 ，
65 75 ，
75 85 ，
频数 3 1 1 1 1 3
（1）从这 10 天的 PM2．5 日均值检测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达
到一级的概率；
（2）从这 10 天的数据中任取 3 天数据；记
表示抽到 PM2．5 检测数据超标的天数，
求
的分布列；
（3）以这10天的PM2．5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 366 天计算）
中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）
18. （本题共13 分）
已知函数
2
( )= ln f x ax b x
在点
(1 (1)) f ，
处的切线方程为
31 yx
．
（1）若
() fx
在其定义域内的一个子区间
11 kk ，
内不是单调函数，求实数
k
的取值
范围．
（2）若对任意
0 x ，
，均存在
13 t ，
，使得
32 1 1 1
ln 2 ( )
3 2 6
c
t t ct f x
,求
c
的取值范围．
19. （本题14分）
设抛物线
C
：
2
2 ( 0) y px p
的焦点为
F
，经过点
F
的动直线交抛物线与
11 ( , ) A x y
，
22 ( , ) B x y
两点，且
12 4 yy
；
（1）求抛物线的方程；
（2）若
2( ) OE OA OB
（
O
为坐标原点），且点
E
在抛物线
C
上，求直线
l
的斜率；
（3）若点
M
是抛物线
C
的准线上的一点，直线
,, MF MA MB
的斜率分别为
0 1 2 ,, k k k
，
求证：当
0 k
为定值时，
12 kk
也为定值．
21. （本题13分）
若正整数
2 mn ， ， ≥
对于任一个
n
元整数集
12 A= n a a a ， ， ，
，取每一对不同的数
ji
aa
，由这
2
n C
个差按从小到大的顺序排成一个数列，称为集合
A
的“衍生数列”，记
为
A
．衍生数列
A
中能被
m
整除的数的个数记为
Am
（1）集合
{1 3 7 11 23} A ，，， ，
，当
2 m
时，求
2 A
（2）设
m
为正整数，若整数
a
与
b
之差
ab
为
m
的倍数，则称
a
与
b
对模
m
同余．且对
于给定的正整数
2 m≥
，若整数
a
被
m
除得的余数为
i
，
{0 1 1} im ，， ，
，则称
a
属于模
m
的剩余类
i
K
．证明：集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生数列属于
1 m k
．
（3）证明：对于一个整数
2 m≥
，
n
元整数集
12 n A a a a ，
及集合
{1 2 3 } Bn ，，
所
对应的“衍生数列”满足不等式
A m B m ≥
答案及其评分标准
2013年毕业班解决方案高考预测卷
第一部分(选择题共40分)
题号 l 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A C A C B
第二部分 填空题 （共 30分）
9．
5
6
10．
1
5
11． 1 12．
9 AB
；
=120 DCB ∠
13．
9
2,
4
k
14．（1）7（3分） （2）
2
21
第二部分 解答题 （共 80分）
15． （1）∵
12 2z z i
，∴
2sin 2 1 (sin 3cos ) x i x x i
∴
2sin 1
2 sin 3 cos
x
xx
，
∵
(0, ) x
，∴
6
x
或
5
6
∴
1
或
1
2
····················· 4 分
（2）根据题意可知：
12 (sin , ), (sin 3cos , 1), OZ x OZ x x
∵
12 OZ OZ
，∴
12 0 OZ OZ
····················· 6 分
∴
2
sin 3sin cos 0 x x x
∴
2
sin 3sin cos x x x
，
∴
11
(1 cos2 3sin 2 ) sin(2 )
2 6 2
x x x
············ 8 分
∴最小正周期：
2
2
T
··········· 10分
∵
sin x
在
3
[ 2 , 2 ],
22
k k k Z
上单调减
∴根据复合函数的单调性：
3
2 [ 2 , 2 ],
6 2 2
x k k k Z
∴
5
[ , ],
36
x k k k Z
∴
() fx
在
5
[ , ],
36
k k k Z
上单调减．········· 13分
．(Ⅰ) ， 分别为 的中点，
为矩形， ················· 2 分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ····················· 4 分
(Ⅱ) ,又 ，
又 ,所以 面 , ··················6 分
法一：建系 为 轴， 为 轴， 为 轴,
， ,
平面 法向量 ，平面 法向量 ·········· 10 分
，可得 ． ·············14分
二：连 交 于点 ,四边形 为平行四边形，所以 为 的中点，连 ,
则 , 面 , ,
作 于 点，所以 面 ,
连 ,则 , 即为所求 ············· 10 分
在 中， ,
解得 ． ·············14 分
． （1）记“从这10天的PM2．5日均值检测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质
量达到一级” 为事件A，则
12
37
3
10
21
(A)=
40
CC P
C
（2）依据条件，
服从超几何分布，其中
10 3 3 N M n ， ，
，
的可能取值为
0 1 2 3 ，，，
，
3
37
3
10
()
kk
CC Pk
C
, //CD AB , AD CD 2 2 AB CD ADF CD ABFD BF AB EF DC EC DE , EF AB CD AB , // AE E EF BF , BEF AE ABE ABE BEFEF DC EC DE , EF PD// PD AB CD AB , // PD AB AB PAD PA AB AB x AD y AP z ) 0 , 2 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 ( D B ) , 0 , 0 ( a P ) 0 , 2 , 2 ( C )
2
, 1 , 1 (
a
E BCD 1 (0,0,1) n EBD) 2 , , 2 ( 2 a a n ]
2
2
,
2
1
[
4 5
2
cos
2
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a AC BF K ABCF K AC EK PA EK // EK ABCD EK BD BD KH H BD EKH EH EH BD EHK EHK Rt 5
1
5
2
2
1
HK ] 3 , 1 [
2
5
5
1
2 tan
a
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a
0 1 2 3
P
7
24
21
40
7
40
1
120
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
7
10
P
设一年中空气质量达到一级或二级的平均天数为
，
~ (366 0.7) B ，
∴
366 0.7 256 E
18．（1）
'( ) 2
b
f x ax
x
由
'(1) 3
(1) 2
f
f
，得
2
1
a
b
2
( )=2 ln f x x x
，
2
1 4 1
'( ) 4
x
f x x
xx
，令
'( ) 0 fx
得
1
2
x
所以
10
1
1
2
1
1
2
k
k
k
≥
，解得
3
1
2
k
（2）设
22 1 1 1
( ) ln 2
3 2 6
c
g t t t ct
，根据题意可知
min min ( ) ( ) g t f x
由（1）知
min
11
( ) ( ) ln 2
22
f x f
2
'( ) ( 1) ( 1)( ) g t t c t c t t c
当
1 c
时，
'( ) 0 gt ≥
，
() gt
在
13 t ，
上单调递增，
min ( ) (1) ln 2
2
c
g t g
满足
min min ( ) ( ) g t f x
当
13 c
时，
() gt
在
1 tc ，
时单调递减，在
3 tc，
时单调递增，
32
min
1 1 1
( ) ( ) ln 2
6 2 6
g t g c c c
由
32 1 1 1 1
ln 2 ln 2
6 2 6 2
cc
得
32
3 2 0 cc ≥
，
-1 ( 2 2) 0 c c c （ ） ≥
．此时
1+ 3 3 c
当
3 c≥
时
() gt
在
13 ，
上单调递减
min
3 14
( ) (3) ln 2
23
c
g t g
3 14 3 3 14 1
(3) ln 2 ln 2 ln 2
2 3 2 3 2
c
g
综上
c
的取值范围是
1 1 3 ， ，
．
19． （1）根据题意可知：
( ,0)
2
p
F
，设直线
l
的方程为：
2
p
x ky
，则：
联立方程：
2
2
2
p
x ky
y px
，消去
x
可得：
22
20 y pky p
（*），
根据韦达定理可得：
2
12 4 y y p
，∴
2 p
，∴
C
：
2
4 yx
（2）设
00 ( , ) E x y
，则：
0 1 2
0 1 2
2( )
2( )
x x x
y y y
，由（*）式可得：
12 2 y y pk
∴
0 8 yk
，
又
11
22
2
2
p
x ky
p
x ky
，∴
22
1 2 1 2 ( ) 2 4 2 x x k y y p pk p k
∴
2
0 84 xk
∵
2
00 4 yx
，∴
22
64 4(8 4) kk
，∴
2
21 k
，∴
2
2
k
∴直线
l
的斜率
1
=2 l
k
k
，
（3）可以验证该定值为
0 2k
，证明如下：
设
( 1, ) M My
，则：
0
2
M y
k
，
1
1
1 1
M yy
k
x
，
2
2
2 1
M yy
k
x
∵
11
22
1
1
x ky
x ky
，∴
11
22
12
12
x ky
x ky
∴
1 2 1 2
12
1 2 1 2 1 1 2 2
M M M M y y y y y y y y
kk
x x ky ky
1 2 2 1
12
( )( 2) ( )( 2)
( 2)( 2)
MM y y ky y y ky
ky ky
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2( ) ( ( ) 4)
2 ( ) 4
M ky y y y y k y y
k y y k y y
2
22
8 8 (4 4)
4 8 4
M
M
k k y k
y
kk
∴
1 2 0 2 k k k
为定值
19．本题共14 分
（1）略
（2）证明：集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生数列
*
{ - 1 , } ji
A m m i j n i j Z 且 ，
- = 1 j i i z
m m m m
且
j mz
，
*
m z Z ，
又
2 m≥
则
1 1 * i z z
m m m Z
∴
1 z
m
与
1 iz
mm
有相同的余数，
又
1
1 1 = 1 z z z
m m m m m m
，且
1
1* z
mZ
即
1
1 1 1 zz
m m m m
且
1 m
与
m
互质
所以集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生数列属于
1 m k
（3）证明：对于给定的正整数
2 m≥
，若整数
x
被
m
除得的余数为
i
，
{0 1 1} im ，， ，
，则称
x
属于模
m
的剩余类
i
K
．
设
A
的元素中属于
i
K
的数有
0 1 2 1 i
n i m ，，， ，
个，而集合
{1 2 3 } Bn ，，
的
元素中属于
i
K
的数有
' 0 1 2 1 i
n i m ，，， ，
个，则
11
0 1 0
'=
mm
ii
i
n n n
（*1）
易知，对已任意
'
i
i j n ，，
与
'
j
n
至多相差1，且
xy
是
m
的倍数当且仅当两数
xy ，
属于模
m
同一个剩余类．对于剩余类
i
K
中的任一对数
ij
aa ，
，有
ji
m a a
，故属
于
i
K
中的
i
n
个数，共作成
2
C i
n
个
m
的倍数，考虑所有的
i
，则
1
2
1
i
m
n
i
A m C
，
类似得
1
2
'
i
m
n B m C
为了证明本题，只需证
11
22
'
11
ii
mm
nn
ii
CC
≥
，化简后，即只要证
11
22
11
'
mm
ii
ii
nn
≥
（*2）
据（*1）易知，若对任意
1 ij
i j n n ，， ≤
，则
0 1 1 m n n n ， ， ，
与
0 1 1 ' ' '
m n n n ， ， ，
就是同一组数（至多只有顺序不同），这时（*2）将取得等号．
若对任意
2 ij
i j n n ，， ≥
，这时将
ij
nn ，
两数调整为
ij
nn ，
，其中
=1 ii
nn
，
=1 jj
nn
，其他元素不变，则
+ = + i j i j
n n n n ，
由于
22 22
+ = + =2 1 0 i j i j i j
n n n n n n ，
，
故调整后（*2）式左边的和值将减少，因此（*2）式取得最小值当且仅当
0 1 1 m n n n ， ， ，
与
0 1 1 ' ' '
m n n n ， ， ，
为同一组数（至多只有顺序不同），即（*2）
成立，因此结论得证．
