阳光高考提供：黄冈市2013年5月高考理科
数学冲刺试卷及其答案
（考试时间：1 2 0分钟试卷分数：1 5 0分）
注意事项
1．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚．
2．请把第I卷中每小题你认为正确选项的代号填涂在答卷中选择题答案栏内．
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数 （i为虚数单位），则 的虚部为
A．-1 B．0 C．i D．l
2．已知集合 ，则下列不正确的是
A． B． C． D．
3．若实数 ．则函数 的图像的一条对称轴方程为
A．x=0 B． C． D．
4．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有
A．36种 B．48种 C．96种 D．1 92种
5．已知不共线向量 则
A． B． C． D．
6．若 ，则 的大小关系
A． B．
C． D．
7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ）
A．64
B．
C．
D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（ ）
A．k<4? B．k<5?
C．k<6? D．k<7?
9．若A为不等式组 所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域面积为（ ）
A．2 B．1
C． D．
10．已知过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点F的直线x－my+m=0与抛物线交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为2 ，则m6+ m4的值为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4
11．平行四边形ABCD中， • =0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB2 +2BD2 =1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g（x）= ，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
第Ⅱ卷
本卷分为必做题和选做题两部分，13—21题为必做题，22、23、24为选考题。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 的展开式中常数项的值是 （数字作答）；
14．已知 的图像在点 处的切线斜率是 ；
15．△ABC中， ，则∠C最大值为_ ；
16．下列若干命题中，正确命题的序号是 。
①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a一l）y一a+7 =0平行的充分不必要条件；
②△ABC中，若acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形；
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④对于命题 使得 ，则 均有 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤）
17．（12分）已知等差数列 中，首项a1=1，公差d为整数，且满足 数列 满足 前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式an；
（2）若S2为Sl， 的等比中项，求正整数m的值．
18．（12分）为了保养汽车，维护汽车性能，汽车保养一般都在购车的4S店进行，某地大众汽车4S店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。假设车主预约保养登记所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下：
登记所需时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0．1 0．4 0．3 0．1 0．1
从第—个车主开始预约登记时计时（用频率估计概率），
（l）估计第三个车主恰好等待4分钟开始登记的概率：
（2）X表示至第2分钟末已登记完的车主人数，求X的分布列及
数学期望．
19．（12分）如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B—AC—D的余弦值．
20．（12分）若椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为 ：2．
（1）过点C（-1,0）且以向量 为方向向量的直线 交椭圆于不同两点A、B，若 ，则当△OAB的面积最大时，求椭圆的方程。
（2）设M，N为椭圆上的两个动点， ，过原点O作直线MN的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
21．（12分）已知函数f（x）=1n（2ax+1）+ －x2－2ax（a∈R）．
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a= 时，方程f（1－x）= 有实根，求实数b的最大值．，
【选考题】
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB =AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB =6，BC =4，求AE．
23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 。
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线 交于点A，B，若点P的坐标为（2， ），求|PA|+|PB|．
24．（10分）选修4－5，不等式选讲
已知函数f（x）=|x+l|，g（x）=2|x|+a．
（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B C A B C C D C A C
二、 13. 45 14. -1
15. 16. （1）（3）（4）
三、解答题
17．解：
（1）由题意，得 解得 < d < ．
又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1) 2=2n－1． 4分
（2）∵ ，
∴ ． 10分
∵ ， ， ，S2为S1，Sm(m∈ )的等比中项，
∴ ，即 ， 解得m=12． 12分
18．解：设Y表示车主登记所需的时间，用频率估计概率，Y的分布如下：
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
（1）A表示事件“第三个车主恰好等待4分钟开始登记”，则事件A对应三种情形：
（1）第一个车主登记所需时间为1分钟，且第二个车主登记所需的时间为3分钟；
（2）第一个车主登记所需的时间为3分钟，且第二个车主登记所需的时间为1分钟；
（3）第一个和第二个车主登记所需的时间均为2分钟。
所以
6分
（2）X所有可能的取值为：0,1,2.X=0对应第一个车主登记所需的时间超过2分钟，所
以 ；X=1对应第一个车主登记所需的时间为1分钟且
第二个车主登记所需时间超过1分钟，或第一个车主登记所需的时间为2分钟，
所以 ；X=2对应两个
车主登记所需的时间均为1分钟，所以 ；
10分
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
. 12分
19．
（1）证明 作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，
易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原
点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
以垂直于DB， 的直线为z轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)， A(2,2,1)，
所以BC→＝ ， ＝ ， 4分
因此BC→•DA→＝ ，所以AD⊥BC. 6分
（2）解：设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC→知：n1•BC→＝
同理由n1⊥AC→知：n1•AC→＝ ，
可取n1＝ ，
同理，可求得平面ACD的一个法向量为 10分
∴cos〈n1，n2〉＝n1•n2|n1||n2|＝
即二面角B—AC—D的余弦值为 12分
20．解：
（1） ，设椭圆的方程为
依题意，直线 的方程为：
由
设
…………………………4分
当且仅当
此时 ……………………6分
（2）设点 的坐标为 ．
当 时，由 知，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，或 ，其中 ， ．
点 的坐标满足方程组
得 ，整理得 ，
于是 ， ．
．
由 知 ． ，
将 代入上式，整理得 ．…10分
当 时，直线 的方程为 ， 的坐标满足方程组
所以 ， ．
由 知 ，即 ，
解得 ． ………………11分
这时，点 的坐标仍满足 ．
综上，点 的轨迹方程为 ………………12分
21．解：
（1）因为函数 在 上为增函数，所以
在 上恒成立。
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上为增
函数，故 符合题意。
②当 时，由函数 的定义域可知，必须有 在 上恒成立，
故只能 ，所以 在 上恒成立。 ..（4分）
令函数 ，其对称轴为 ，因为 ，
所以 ，要使 在 上恒成立，只要 即可，即 ，所以 ，因为 ，所以
综上所述， 的取值范围为 （6分）
（2）当 ，方程 可化为 。问题转
化为 在 上有解，即求函数 的值域。令函数 （10分）
则 ，所以当 时， ，函数 在 上为增函数，当 时， ，函数 在 上为减函数，因此 。而 ，所以 ，因此当 时， 取到最大值 。
12分
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵ ∠ABE=∠ACD………………2分
又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴Δ Δ （角、边、角） 5分
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4 8分
设AE= ，易证 ΔABE∽ΔDEC
∴ 又
∴ 10分
23．（Ⅰ）由 得 4分
（Ⅱ）将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ，
即 由于 ，故可设 是上述方程的两实根，
所以 故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|= = 。 10分
24．解：
所以解集为 5分
（1）即 ，使得 成立，令 ，则
，
所以 。 10分
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