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乌鲁木齐二模理科
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乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C D C B D A A C C C A B
1.选C.【解析】∵ ， ，∴ ，
故选C.
2.选D.【解析】∵ ，其共轭复数是 故选D.
3.选C.【解析】依题意， ，则
故选C.
4.选B. 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.
5.选D.【解析】 ，曲线在 处切线的斜率 ，∵此切线与直线 垂直，∴直线 的斜率 ，即 . 故选D.
6.选A.【解析】由题意得 ，即 解得：
，∵ 是区间 上的减函数,
∴ ，∴ ，故选A.
7.选A.【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为
由题意得 ，解得 ∴ ，故选A.
8.选C.【解析】执行第一次运算 ，
执行第二次运算 ，执行第三次运算 ，执行第四次运算 输出 .故选C.
9.选C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有 种不同放法，放对的个数 可取的值有0，1,2,4. 其中 ， , , ，
.故选C.
10.选C.【解析】∵ 为奇函数，则函数 的图像关于点 对称，则函数 的图象关于点 对称，故函数 满足 .
设 ，倒序后得 ，两式相加后得 ，
∴ .故选C.
11.选A.【解析】 ，渐近线方程为 直线 的方程为： ，设 ， 依题意知， 分别满足 ， ，得 ∵ ，∴ ,
∴ ，化简得 .故选A.
12.选B.【解析】∵ ，∴ ,即
,整理的 ,则 ,∵ ,∴ ,∴ 为锐角，故 为锐角，则 ，
,当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值为 .故选B.
二、填空题
13.填 .【解析】由题意得： ，∴ .
14.填 .【解析】∵ ,∴ ,∵ ,
∴ ,∴ ,
∴
15.填 .【解析】
若 ，由 得 ，得 ，与 矛盾；
若 ，由 得 ，得 ，与 矛盾；
若 ，由 得 ，得 ，
而 ，∴ ，∴
16.填 .【解析】依题意知，直线 的斜率 存在，且 ，
设其方程为 代入 有
设 则 ，又 ， ，∴ ,而 异号，∴ ，∵ ,又∵ ，
故 ，即 ,将 ， 代入，有 ,∴ ，又 ,
∴
三、解答题
17．（12分）
（Ⅰ）当 时， ，得 ，由 得 ，两式相减，得 ，即 ，∴ ，而 ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列； …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，即 ，
∴
令
则
两式相减得
∴ ，∴ …12分
18. (12分)
（Ⅰ）连结 ，∵四边形 是菱形，∴
又∵ ，∴ 是等边三角形，
∵ 是 中点, ∴ ，
∵ 平面 , 平面 ,
∴ ，在平面 中
∴ 平面
∴平面 平面 ； …6分
（Ⅱ）设 交于点 ，过 作 ,
以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形 是边长为 的菱形， 得 , , ，
于是
∵ 是 的中点, ∴ ，∵ 平面 ,
∴平面 的一个法向量为 设平面 的法向量
∵ ,由 得 ，
令 ，得 ， ,∴ ,∴
∴二面角 的平面角的余弦值为 ． …12分
19．（12分）
（Ⅰ）上半年的数据为：
其“中位数”为 ，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为： 其“中位数”为 ，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为： …5分
（Ⅱ）由题意得：
上半年 下半年
优质品
非优质品
由于 ，所以没有 的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12分
20.（12分）
（Ⅰ）已知椭圆 的右焦点为 ，∴
又直线 与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组 有且仅有一个解，
即方程 有且仅有一个解
∴ ，即 ，又∵ ，
∴ ，∴椭圆 的标准方程是 ； …5分
（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点 的坐标为 ，直线 的方程为 （其中 为直线 在 轴上的截距）设
解方程组 ，得关于 的一元二次方程
即
，即
∵ 是方程的两个解，∴ ， ，
∵ ，
∴
，∵ ，∴
即 ，∴
即 ，又 ，∴ ，即 ，∴ ，而 ，∴ ，解得 或 ，
∴ 或 …12分
21．（12分）
（Ⅰ）∵ ,∵ ∴ ，∴ ，
∴ ,∴函数 在区间 上单调递增. …4分
（Ⅱ）⑴当 时， ，
由 知 ， ，则 ， ，
∴
∴当 时，函数 在 上无零点；
⑵当 时， ，
令 ，得 ，由 ，知 ,∴ ，
∴ ，∴当 时， ,∴ ,
当 时， ，∴
∴函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数.
∴
由 ， ； ， 成立，
∴ ， ， ，
取
当 时， ，∴当 时
∴ ，即
又
由函数零点定理和函数 在区间 为增函数,且
∴ 使得 ，取 ，
由 ，知 ，∴当 时，都有 ，
∴ ， ，∵ ，
∴
从而 ，∴ ，∴ 使得
∴当 时，函数 在 上有两个零点；
⑶当 时
由⑵知函数 在区间 上为增函数，在区间 为减函数.
∴ ，∴对 ，
且当 时， ，当 时，
从而当 时，函数 有且仅有一个零点；
⑷当 时， ，
由⑵知函数 在区间 为增函数，在区间 为减函数，
，∴对 ， 。
此时 在 上无零点.
综上所述：⑴当 时，函数 在 上无零点；
⑵当 时，函数 在 上有两个零点；
⑶当 时，函数 在 上有一个零点；
⑷当 时，函数 在 上无零点. …12分
22．（10分）
（Ⅰ）连结 ，∵ 是圆的切线, 是弦∴
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ∽ ，
∴ ，∴ ，
∴ ； …5分
（Ⅱ）设 与半圆交于点 ,连结 ，∵ 是圆的切线,∴ ，
又∵ , ，∴ ∽ ，∴ ,
∴ ,∴
. …10分
23．(10分)
（Ⅰ）圆 的参数方程为 （ 为参数）；
直线 的参数方程为 （ 为参数）； …5分
（Ⅱ）圆 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 ，设 点的极坐标为 ， 点的极坐标为 依题意有： ， ，
∴ 为定值． …10分
24．(10分)
（Ⅰ） ，其图像如图所示.
令 解得 ，∴ 的解集为 …5分
（Ⅱ）如图，当 时， ，要使 ，需且只需 ，
而 =3时，有 ，或 ，即 ，或 ，得 .
…10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．
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