2014
银川一中二模理科
数学答案
绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(第二次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R，集合，，则集合等于
A． B． C． D．
2．若复数满足，则=
A． B． C． D．
3．已知等比数列的公比大于1，，，则
A．96 B．64 C．72 D．48
4．设l，m，n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且nβ，则l∥m.
其中正确命题的个数是
A．2 B．1 C．3 D．4
5从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，
垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，
则△MPF的面积（ ）
A．5B．10C．20D．
6阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是
A． B． C． D．
7．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为
A．18 B．15 C．12 D．9
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C．（2）D．（2）
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cos A，则△ABC为
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
10．现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是
A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
11过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C．若，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
12设函数在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数，定义函数：,取函数，若对任意的，恒有，则
A. k的最大值为2 B. k的最小值为2
C. k的最大值为1 D. k的最小值为1
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量，，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为
14的二项展开式中含的项的系数为
15若，且，则的值为 ．
16在平面直角坐标系中，记抛物线与x轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线y＝(k＞0)所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则k的值为
17．（本小题满分12分）
设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足．其中．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：数列的前项的和（）．
18 （本题满分12分）
今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力。为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]频数510151055赞成人数469634
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查
者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的
4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ
19．（本小题12分）
已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．
（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：；
（III）求二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）
已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是第一象限内该图上的一点，，求点P的作标；
(Ⅱ)设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
21.（本小题满分12分）
设函数．
(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数的单调性；
(Ⅲ)当时，设函数，若对于，，使成立，求实数的取值范围.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图，在正ΔABC中，点D、E分别在边BC, AC上,且,，AD，BE相交于点P.
求证：(I) 四点P、D、C、E共 圆；
(II) AP CP。
已知直线为参数), 曲线 （为参数）.
(I)设与相交于两点,求；
(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
已知函数．
(I)若不等式的解集为，求实数a的值；
(II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
题号123456789101112答案DCAABCDBAACD13. 3 14. 15 15. 1或
17．⑴由已知条件得， ①
当时，， ②
①－②得：，即，
∵数列的各项均为正数，∴（），
又，∴；∵，
∴，∴；
⑵∵，
∴，
，
两式相减得，
∴．
（）的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分
所以的分布列是：
19． (I) 在正方形ABCD中，是对角线的交点，
O为BD的中点， M为AB的中点， OM∥AD.
又AD平面ACD，OM平面ACD， OM∥平面ACD.
（II）证明：在中，，，
，.
又 是正方形ABCD的对角线，，
又.
（III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系.则，
是平面的一个法向量.，，
设平面的法向量,则，.
即，
所以且令则，，解得.
从而，二面角的余弦值为.
20．（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，由
，，得．①又为锐角，∴
又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是
21. 函数的定义域为，
(Ⅰ)当时，，
∴在处的切线方程为
(Ⅱ)，的定义域为
当时，，的增区间为，减区间为
当时，
，的增区间为，减区间为，
， 在 上单调递减
，
时，
(Ⅲ)当时，由(Ⅱ)知函数在区间上为增函数，
所以函数在上的最小值为
若使成立在上的最小值不大于
在[1，2]上的最小值（*）
又
①当时，在上为增函数，
与（*）矛盾
②当时，，
由及得，
③当时，在上为减函数，
， 此时
综上所述，的取值范围是
22.证明：（）在中，由知：
≌
即
所以四点共圆；
（II）如图，连结.
在中，,,
由正弦定理知
由四点共圆知，,
所以
23．解.（I）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则.
（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
,
由此当时,取得最小值,且最小值为.
解：（）由得，，即，
，。分
（）由（）知令，
则，
的最小值为4，故实数的取值范围是。10分
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