2014
河南中原名校第二次联考数学（理）答案
一、选择题：CDCCB ABBDA DB
二、填空题：13.0 14.168 15. 16.
17.解：(Ⅰ)
.
∴函数的最大值为.当取最大值时
,解得.
故的取值集合为.……………………………………(6分)
(Ⅱ)由题意,化简得
,, ∴, ∴
在中,根据余弦定理,得.
由,知,即.
∴当时,取最小值.…………………………..……………………(12分)
18.解：(Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .……………………………………………………………..… ………(2分)
(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为,则＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分.
…………………………………………………………………………..…………(6分)
(Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为,则,∴＝.
学生甲答题个数的可能值为3,4,5,
则=＝
＝所以的分布列为
345＝×3＋×4＋×5＝.…………………………..……………….. (12分)
19. (Ⅰ)证明：是的中点时,////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.……………………………………………………..………(6分)
(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有,,,,设,
,,平面的法向量,则有
,解得. .
平面的法向量,依题意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,则有
,解得. .
与平面所成角为,则有,
故有.………………………………………………………………(12分)
20.解：(Ⅰ)设抛物线的方程为,依题意,,
则所求抛物线的方程为.………………………………………………(2分)
设直线的方程为,点、的坐标分别为.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
设点坐标为,则有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直线过定点,即,代入上式得
注意到上式对任意都成立,
故有,从而点坐标为.…………………………………………(8分)
(Ⅱ)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（Ⅰ）问可知,将用代换得直线的方程为.设,
由消,得.
∴ ,.
∵的中点坐标为,即,
∵,∴的中点坐标为.
由已知得,即.
设,则,
在上是增函数.又,,
在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,
所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12分)
21.解：(Ⅰ),,.
∴,且.解得a＝2,b＝1. ……...…………(4分)
(Ⅱ),设,
则,令,得x＝1(x＝－1舍去).
当x∈时,, h(x)是增函数；当x∈时,, h(x)是减函数.
则方程在内有两个不等实根的充要条件是
解得.………………………………………..………(8分)
(Ⅲ),.假设结论成立,
则有,①－②,得.
∴.由④得,于是有,∴,
即.⑤ 令, (0＜t＜1),则＞0.
∴在0＜t＜1上是增函数,有,∴⑤式不成立,与假设矛盾.
∴.……………………………………………………………..………(12分)
22. (Ⅰ)证明：设与交于点,连接.
,,又△∽△,
.于是有,注意到
,∴△∽△,
∴,∴四点共圆.从而有,
∴.………………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)在△中, ,
,,,由,知,
.又,.
故.………………………………………………………………(10分)
23.解：(Ⅰ)曲线：,直线：.…….. ….…………(5分)
(Ⅱ)曲线：,与直线联立得,消去,得
,由△知,,. ……….…(10分)
24. 解：(Ⅰ),
的解集是.…………………... …….…………(5分)
(Ⅱ)时,时,,结合的图像知,
,解得或,
故的取值范围是.…………………..……………..……(10分)
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