2014
丰台一模考试理科
数学试题答案
丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习
高 三 数 学（理科） 2014.3
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合,,则等于
（A） （B）
（C） （D）
（2）在极坐标系中，点A（）到直线的距离是
（A）1 （B）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中
一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（5） “”是 “”的
充分而不必要条件必要而不充分条件
充分必要条件既不充分也不必要条件
，，则下列说法正确的是
（A），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
（B），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
（C），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
（D），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如
图所示，那么该几何体的体积是
（A） （B）4
（C） （D）3
（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年
年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年
到2999年中“七巧年”共有
（A）24个 （B）21个 （C）19个 （D）18个
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9） 已知，则的值为_______________.
(10)已知等比数列中, ，则 .
(11) 如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点,
且DF=CF=,AF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长
为 ．
(12) 已知点F,B分别为双曲线C:的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是___________.
(13)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，，
(),若∥，则=______________.
(14)设不等式组表示的平面区域为M，不等式组
表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值
是_________.
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(15)(本小题共13分)
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
(16) (本小题共13分)
年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：
健康指数210-160岁至79岁的人数250260652580岁及以上的人数20452015其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。
（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。
（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.
(17) (本小题共14分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.
（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1 ；
（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求的值；
（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.
(18) (本小题共13分)
已知曲线.
（Ⅰ）求曲线在点（）
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围.
(19) (本小题共14分)
如图，已知椭圆E: 的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：点M在直线上；
（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
(20) (本小题共13分)
从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个
子列.
（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；
（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.
一、选择题
题号12345678答案DCACADBB
二、填空题
9． 10. 9 11. 12. 13. 2 14.
三、解答题
15.解：（）
所以的最小正周期为π.
（）由（）知
因为，所以，当，即时，函数取最大值，当，即时，函数取最小值.
所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.
16.解：（）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为.
（）该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：
X210-1pEX==1.15
因为EX<1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.
17. 解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（，0，0），B(1,1,0)，C(0,,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(,m,0)（0≤m≤）
（）证明：，
所以DA1ED1.
-------------------------------------------------------------4分
（）设平面CED1的一个法向量为,则
，而，
所以取z=,得y=,x=1-m，得
因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以
所以，所以，解得m=.（）点E到直线D1C距离的最大值为，点E
18.解：（），，，所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.
（）当a>0时，，则.
因为在上为减函数，
所以在内，在内，
所以在内是增函数，在内是减函数，
所以的最大值为因为存在使得，所以，所以.
当时，<0恒成立，函数在R上单调递减,而，即存在使得，所以
综上所述，的取值范围是(-∞,0)[e,+∞)----------------------------------------13分
19. 解：（）由题意可知，，.
所以，椭圆的标准方为程（）设，，
即，，，
于是.
因为，所以在直线上（）由（）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
?BDM的面积是?ACM面积的3倍DM|=3|CM|，因为OD|=|OC|，M为OC中点，则.因为，解得.
于是，解得，所以.----------------14分
20. 解：（）
（）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为，所以.
（1）当时，（0，1]，且数列是递减数列，
所以也为递减数列且（0，1]，,
令，得，即存在使得，这与（0，1]矛盾.
当时，1，数列是递增数数列，
所以也为递增数列且1，，
所以存在正整数m使得.
令，则，
因为=，
所以，即，但这与矛盾，说明假设不成立.
综上，所以数列不存在是无穷等差数列的子列.
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