2014
东城一模考试理科
数学试题答案
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测
学校______________班级_________姓名____________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共0分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝
A．．．．则z=
A．．．．R，则“a＝-2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与
直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A．．．．的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为
A. B. C. D.
5．设a，b是两个非零向量．则下列命题为真命题的是
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
6．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为A. B. C. D.
7 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点,若在点处的切线平行于的一条渐近线，则
A. B. C. D.
8．设a＞0，b＞0．．，则a＞b
B．，则a＜b
C．，则a＞b
D．，则a＜b
非选择题部分（共0分）二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．
记等差数列的前n项和为，已知.
．
10．如图，与圆相切于，不过圆心的割线与
直径相交于点.已知∠=，，
,则圆的半径等于 ．
11. 若函数有零点，则k的取值范围
为_______.
12．已知圆的方程为,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短
弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______________.
13．已知的展开式中没有常数项，，且≤ n ≤ 7，则n=______．．R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，
则a＝______________．三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．本小题满分1分的内角所对的边长分别为，
且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
16．本小题满分1分表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及
数学期望.
17．本小题满分1分中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
18.（本小题满分14分）
已知函数，其中
若在x=1处取得极值，求a的值；
求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围 .
19．本小题满分1分(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定
点的坐标．
20.（本题满分12分）
在数列中，a1=2，b=4，且成等差数列， 成等比数列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：2013-2014学年度第二学期教学检测
一、选择题： 1．C；7．D；8．A．，必有．，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．．
二、填空题： ； 12 . 20；13．．．，0)，可得：a＞1；
函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，得：，舍去，）
三、解答题：
1．本小题满分1分Ⅰ）在中，
由正弦定理及
可得
即，则=4. --------6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)得
当且仅当时，等号成立，
故当时，的最大值为. --------13分
16．本小题满分1分 --------5分
（III）的可能取值为0，1，2，3
,，,
0123P. --------13分
17．本小题满分1分
（Ⅰ）依题设知，是所作球面的直径，则M⊥MC。
又⊥平面，则⊥CD，又⊥AD，
⊥平面ＰＡＤ，则⊥AM，⊥平面，
平面⊥平面，又，
则是的中点可得,
，
则
设D到平面ACM的距离为，
由 即，可求得，
设所求角为，则. --------10分
(Ⅲ)可求得PC=6, 因为AN⊥NC，由，得PN,
所以,
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的.
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（Ⅱ）可知所求距离为 . --------14分
方法二：
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，；
设平面的一个法向量，
由可得：，
令，则.
设所求角为，则.
--------10分
（Ⅲ）由条件可得，.
在中，,所以,
则, ，
所以所求距离等于点到平面距离的，
设点到平面距离为则，
所以所求距离为. --------14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）
∵在x=1处取得极值，∴解得
--------4分
（Ⅱ）
∵ ∴
①当时，在区间∴的单调增区间为
②当时，
由
∴
--------10分
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，
当时，由（Ⅱ）②知，
在处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 --------14分
19．本小题满分1分 (Ⅰ)由题：； (1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：．．． (II)设，由得 ，
，.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
，，
，，解得
，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为 --------14分
20.（本题满分12分）
（Ⅰ）由条件得
由此可得
．
猜测．4分
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．7分
（Ⅱ）．
n≥2时，由（Ⅰ）知．
故
综上，原不等式成立． 12分
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