2014年上海六校联考理科数学考试试卷

一起优秀网    来源: 阳光高考门户      2014-03-29         
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2014年上海六校联考理科数学考试试卷

            
                  数学试卷(理科)      2014年3月6日
   (完卷时间120分钟,满分150分)
 
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
已知,,则                       .
已知集合,,若,则实数的取值范围
是                       . 
设等差数列的前项和为,若,,
则等于                       .
若是纯虚数(是虚数单位),则实数的值为                       .
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是                       .
执行右图的程序框图,如果输入,则输出的值为                       .
不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是                       . 
若是展开式中项的系数,
则                .
已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为                       .
若点在曲线(为参数,)上,则的取值范围是                       .
从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数,则使得的概率为                       .
已知点为椭圆的左焦点,点为椭圆上任意一点,点的坐标为,则取最大值时,点的坐标为                       .
13、已知、、为直线上不同的三点,点直线,实数满足关系式
,有下列命题:
  ①;        ② ;
  ③ 的值有且只有一个;      ④ 的值有两个;
  ⑤ 点是线段的中点.
则正确的命题是                       .(写出所有正确命题的编号)
14、已知数列的通项公式为,数列的通项公式为,
设若在数列中,对任意恒成立,则实数的取值范围是                       . 
http://www.yggk.net/zt/shanghailiuxiaoliankao/
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑,选对得5分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分.
15、若,则“成立”是“成立”的                                  (      )
(A)充分非必要条件             (B)必要非充分条件
(C)充要条件                         (D)既非充分又非必要条件
 
16、下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为                            (      )
(A)                        (B)
(C)                    (D)
17、已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出的是                                                                                (      )
(A)且                   (B)且 
(C)且                    (D)且
18、对于函数,若存在区间,使得,
则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.
给出下列4个函数:
①;②; 
③;      ④.
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为                                           (      )
(A)①②③           (B)②③           (C)①③           (D)②③④
 
三、解答题(本大题共5题,满分74分)每题均需写出详细的解答过程.
19、(本题满分12分)本题共有2小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.
    在△中,角、、所对的边长分别为、、,
  且. 
  (1)若,,求的值;
  (2)若,求的取值范围.
  
  
20、(本题满分14分)本题共有2小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.
  如图,几何体中,为边长为的正方形,为直角梯形,,,,,.
  (1)求异面直线和所成角的大小;
  (2)求几何体的体积.
  
  
  
   
   
   
   
   
   
   
21、(本题满分14分) 本题共有2小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.
  为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:
,且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品,同时获得国家补贴万元.
  (1)当时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;
   如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?
  (2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
  
  
  
  
  
  
 
 
22、(本题满分16分)本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
  已知数列中,,对任意的,、、成等比数列,公比为;、、成等差数列,公差为,且.
  (1)写出数列的前四项;
  (2)设,求数列的通项公式;
  (3)求数列的前项和.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
23、(本题满分18分)本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
  如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为. 点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线.
  (1)求圆的方程及曲线的方程;
(2)若两条直线和分别交曲线于点、和、,求四边形面积的最大值,并求此时的的值.
  (3)证明:曲线为椭圆,并求椭圆的焦点坐标.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   2014年上海市高三年级 六校联考 
   数学试卷(理科)答案
   一、填空题
  1.       2.         3.       4.            5. 
  6.        7.         8.         9.       10. 
  11.      12.        13.①③⑤   14.
   
   二、选择题
  15. C        16. A        17. C          18. B
   
   三、解答题
   19. 解:(1)在△中,.
  
  所以.
  
  ,所以.                                               ………………3分
  
  由余弦定理,
  
  得.
  
  解得或.                                                  ………………6分
  
  (2)
        
        .                                      ………………9分
  
  由(1)得,所以,,
  则. 
  ∴.
  
  ∴.
  
  ∴的取值范围是.                                      ………………12分
   20. 解:(1)解法一:在的延长线上延长至点使得,连接.
  由题意得,,,平面,
  ∴平面,∴,同理可证面.
  ∵ ,,
  ∴为平行四边形,
  ∴.
  则(或其补角)为异面直线和
  所成的角.                     ………………3分
  由平面几何知识及勾股定理可以得
  
  在中,由余弦定理得
  .
  ∵ 异面直线的夹角范围为,
  ∴ 异面直线和所成的角为.                        ………………7分
  
   解法二:同解法一得所在直线相互垂直,故以为原点,所在直线
  分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,                       ………………2分
  可得,
  ∴ ,
  得.          ………………4分
  设向量夹角为,则
  .
  ∵ 异面直线的夹角范围为,
  ∴ 异面直线和所成的角为.                        ………………7分
  
  (2)如图,连结,过作的垂线,垂足为,则平面,且.
                                                                     ………………9分
  ∵ ……………11分
       
       
       .
      ∴ 几何体的体积为.……14分
  
  
  21. 解:(1)根据题意得,利润和处理量之间的关系:
  
   
                                                  ………………2分
   ,. 
  ∵,在上为增函数,
   可求得.                                          ………………5分
  ∴ 国家只需要补贴万元,该工厂就不会亏损.                      ………………7分
  (2)设平均处理成本为
                                              ………………9分
     ,                                     ………………11分
    当且仅当时等号成立,由 得.
    因此,当处理量为吨时,每吨的处理成本最少为万元.       ………………14分
  22. 解:(1)由题意得
   ,,或.                     ………………2分
  故数列的前四项为或.                          ………………4分
  (2)∵成公比为的等比数列,
       成公比为的等比数列
  ∴,
  又∵成等差数列,
  ∴.
  得,,                         ………………6分
  ,
  ∴,,即.
  ∴ 数列数列为公差等差数列,且或.   ……8分
 ∴或.                               ………………10分
(3)当时,由(2)得.
 ,,
 ,
 .                       ………………13分
 当时,同理可得,.                     ………………16分
 
 解法二:(2)对这个数列,猜想, 下面用数学归纳法证明:
 ⅰ)当时,,结论成立. 
 ⅱ)假设时,结论成立,即.
 则时,
由归纳假设,. 由成等差数列可知,于是,
 ∴ 时结论也成立.
 所以由数学归纳法原理知.                        ………………7分
 此时.
 同理对这个数列,同样用数学归纳法可证. 此时.
 ∴或.                                             ………………10分
 
(3)对这个数列,猜想奇数项通项公式为.
 显然结论对成立. 设结论对成立,考虑的情形.
 由(2),且成等比数列,
 故,即结论对也成立.
从而由数学归纳法原理知.于是(易见从第三项起每项均为正数)以及,此时.  ………………13分
对于这个数列,同样用数学归纳法可证,此时.
 此时.                            ………………16分
 
 
23. 解:(1)由题意圆的半径,
故圆的方程为.                                        ………………2分
由得,,
即,得
()为曲线的方程.(未写范围不扣分)…4分
(2)由得,,
所以,同理.   ………………6分
由题意知 ,所以四边形的面积.
∵ ,∴ .      ………………8分
当且仅当时等号成立,此时.
∴ 当时,四边形的面积最大值为.                   ………………10分
(3)曲线的方程为(),它关于直线、和原点对称,下面证明:
  设曲线上任一点的坐标为,则,点关于直线的对称点为,显然,所以点在曲线上,故曲线关于直线对称,
  同理曲线关于直线和原点对称.
可以求得和直线的交点坐标为
和直线的交点坐标为,
,,,.
在上取点 .                 
 
 
下面证明曲线为椭圆:
ⅰ)设为曲线上任一点,则
 
 
 
 
 
(因为)
.
  即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
  ⅱ)若点到两定点的距离之和为定值,可以求得点的轨迹方程为(过程略).             
故曲线是椭圆,其焦点坐标为.         ………………18分
第(3)问说明:
1. ⅰ)、ⅱ)两种情形只需证明一种即可,得5分,
2. 直接写出焦点的坐标给3分,未写出理由不扣分.
  
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