命题：汪红兵 审稿与校对：梅开萍、杨波
参考公式：
·如果事件、互斥，那么．
·表示底面积，表示底面的高，柱体体积 ，，锥体体积 ．
一、选择题：共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．学
1.已知全集U＝R，集合,则∩(?U B)＝( )
A．(,1) B．C．D． (0,)
2. 设、，若，则下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
是等差数列,若则数列前8项和为（ ）
A．128 B.80 C.64 D.56
4.已知函数则函数的零点为
A．．．．
5.给出下列三个结论：
（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；
（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；
（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为
A． B． C． D．
的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象
A．对称B．对称
C．D．对称
7. 已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为
8. 设，，为整数（m>0），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中1～15题是选做题，考生只能选做题，题全答的，只计算前题得分．
某中学为了解学生
数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次
数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次
数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
（第9题） （第10题）
10.某几何体的三视图如，则它的体积是________．
的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）。
12. 已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，
A∪B＝R，则的最小值为＿＿＿＿
13. 请阅读下列材料：若两个正实数满足（不必证明）
14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线为参数且）与(是参数且)，则直线与的交点坐标为 .
15.（几何证明选讲选做）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 ．
16．（本小题满分12分）已知，．
⑴ 求的最小正周期；
⑵ 设、，，，求的值．
，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求成绩在区间的频率；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值.
18. （本小题满分14分）
如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，，．
(1) 求证：平面；
() 若二面角为直二面角求直线与平面所成的角的正弦值
19．（本小题满分14分）
如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|． (1)求椭圆方程；
(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）的两条
切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．
20．（本小题满分14分）
已知函数
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值；
若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围
21．（本小题满分14分）
已知数列中，，且．为数列的前项和，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和；
（3）证明对一切，有．
参考答案
选择题：每小题5分，共40分.
序号12345678答案ABCDD B D A
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.600 10. 8－;
13. 14．（1，3） .
三. 解答题：
16. 解：⑴……2分，……4分，
的最小正周期⑵因为，，……6分，
所以，……7分，
，，……8分，
因为，所以，……9分，
所以……10分，
……11分，
……12分。
17. 解：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为
， …………………3分
（2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间内的学生有人，
成绩在区间内的学生有人，…………………4 分
依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3 …………………5 分
所以ξ的分布列为
ξ0123P
............................................................................10分
则均值Eξ= ...............................12分
18.（本小题满分14分）
（1）矩形中，--------1分
平面，平面,平面，-2分
同理平面,-------3分
又u平面∥平面------4分
（2）取的中点.
由于面, ∥,
又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，
所以，就是二面角的平面角-------8分
解法1（几何方法）：
延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知， ，,相交于，平面为所求.
由,,得
等腰直角三角形中，,可得
直角三角形中,
解法2几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角. ------12分
连结，设则在中，，，用余弦定理知 ---14分
解法3（向量方法）：以为原点，为轴、为轴
建立如图的直角坐标系，由则，
，平面的法向量， -------12分
. ---14分
19．解：(1)，则A(2，0)，设椭圆方程为-----------------------分 由对称性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1，1)点B的坐标为(－1，－1) ---------------------4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 ∴所求椭圆方程为---------------------------------分
在椭圆E上存点Q，使得，则
即点Q在直线上，-----------------------------------------------------------7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，
∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，
∴满足条件的点Q存在，且有两个．------------------------------------------------------9分在椭圆E上存点Q，使得，则
即，--------①-------------------------------------------------7分Q在椭圆E上，∴，-----------------②
由①式得代入②式并整理得：，-----③
∵方程③的根判别式，
∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------9分，由M、N是的切点知，,
∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------10分OP,则圆心为，
其方程为，------------------------------11分-----④
即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，
∴M、N坐标也满足方程---------------⑤
⑤-④得直线MN的方程为分得，令得，----------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，
∴，即=定值.-----------------------------------14分则----------10分化简得--------------④
同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分⑤得
∴直线MN的方程为分得，令得，--------------------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，
∴，即=定值．---------------------------------------------14分，且．
又，．
在点处的切线方程为：，
即． ……………………… 4分
（2）的定义域为，， 令．
当时，，是增函数；
当时，，是减函数；
在处取得极大值，即． ……… 8分
（3）（i）当，即时，
由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，
当时，取得最大值，即．
又当时，，
当时，，当时，，
所以，的图像与的图像在上有公共点，
等价于，解得，又因为，所以．
（ii）当，即时，在上是增函数，
在上的最大值为，
原问题等价于，解得，又 无解
综上，的取值范围是． ……………… 14分
21．解：（1）由已知得，，，
由题意，即， 当n为奇数时，；当n为偶数时，.
所以. …………4分
（2）解法一：由已知，对有，
两边同除以，得，即，
于是，==，
即，，所以=，
，，又时也成立，故，.
所以， ………8分
解法二：也可以归纳、猜想得出，然后用
数学归纳法证明．
（3）当，有，
所以时，有
=.
当时，. 故对一切，有. ………14分
数学学习 http://www.yggk.net/math/
