一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 若集合 ， ，则 .
2. 设 、 是平面内两个不平行的向量，若 与 平行，则实数 .
3. 在△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 .
4. 在 的展开式中，若第 项的系数为 ，则 .
5. 若圆 的圆心到直线 （ ）的距离为 ，则 .
6. 函数 的反函数 .
7. 已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 、 ，若经过 的直线 与椭圆相交于 、 两点，则△ 的周长等于 .
8. 数列 中，若 ， （ ），则 .
9. 若函数 ，则不等式 的解集为 .
10．【文科】如图，正四棱柱 的底面边长 ，若异面直线 与
所成的角的大小为 ，则正四棱柱 的侧面积为 .
【理科】如图，正四棱柱 的底面边长 ，若直线 与底面
所成的角的大小为 ，则正四棱柱 的侧面积为 .
11. 【文科】在数列 中， ， （ ），则数列 的前 项和 .
【理科】数列 的前 项和为 ，若 （ ），则 .
12. 已知全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 ，则集合 的取法共有 种.
13. 【文科】若函数 ，则 .
【理科】正三角形 的三个顶点都在半径为 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，点 是线段 的中点，过 作球 的截面，则截面面积的最小值为 .
14.已知函数 ，若方程 有且仅有两个解，则实数 的取值范围是 .
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.若 和 都是定义在 上的函数，则“ 与 同是奇函数或偶函数”是“ 是偶函数”的………………………………………………………………（ ）
充分非必要条件. 必要非充分条件.
充要条件. 既非充分又非必要条件
16. 若 和 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）
. .
. .
17.将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到的函数对应的表达式为 ，则函数 的表达式可以是………………………………………（ ）
. . . .
18. 若 ( )是 所在的平面内的点，且 .
给出下列说法：
① ；
② 的最小值一定是 ；
③点 、 在一条直线上；
④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）
个. 个. 个. 个.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知点 ，点 在曲线 : 上.
（1）若点 在第一象限内，且 ，求点 的坐标；
（2）求 的最小值.
20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数
（1）【文科】求函数 的值域，并写出函数 的单调递增区间；
【理科】求函数 的最大值，并指出取到最大值时对应的 的值；
（2）若 ，且 ，计算 的值.
21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径 毫米,滴管内液体忽略不计.
（1）如果瓶内的药液恰好 分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件(1)下,设输液开始后 （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为 （单位：厘米），已知当 时， .试将 表示为 的函数.（注: ）
22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3
小题满分6分.
已知数列 中， ， ， .
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）在数列 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若 且 ， ，求证：使得 ， ， 成等差数列的点列 在某一直线上.
3.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.
定义在 上的函数 ，如果对任意 ，恒有 （ ， ）成立，则称 为 阶缩放函数.
（1）已知函数 为二阶缩放函数，且当 时， ，求 的值；
（2）【文科】已知函数 为二阶缩放函数，且当 时， ，求证：函数 在 上无零点；
【理科】已知函数 为二阶缩放函数，且当 时， ，求证：函数 在 上无零点；
（3）已知函数 为 阶缩放函数，且当 时， 的取值范围是 ，求 在 （ ）上的取值范围.
2013学年第一学期普陀区高三
数学质量调研卷评分标准
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. ； 6. （不标明定义域不给分）；
7. ； 8. ； 9. 10．32； 11.【文科】 （ ）； 【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】 ； 14. ；
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
题号 15 16 17 18
答案 A D C B
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
【解】设 （ ）,
（1）由已知条件得 …………………………2分
将 代入上式，并变形得， ，解得 （舍去）或 ……………4分
当 时，
只有 满足条件，所以点 的坐标为 ………………6分
（2） 其中 …………………………7分
（ ）…………10分
当 时， ……………………………………12分
（不指出 ，扣1分）
20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
【解】（1） ………………2分
【文科】由于 ，所以函数 的值域为 ………4分
由 得
所以函数 的单调的增区间为 ， ………6分
（文科不写 ，不扣分；不写区间，扣1分）
【理科】由 得， ………4分
所以当 时， ，此时 ………6分
（2）由（1）得， ，即 ……………8分
其中 得 ………………10分
所以 ……………11分
………………13分
………………14分
21. （本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
【解】（1）设每分钟滴下 （ ）滴，………………1分
则瓶内液体的体积 ………………3分
滴球状液体的体积 ………………5分
所以 ，解得 ，故每分钟应滴下 滴。………………6分
（2）由（1）知，每分钟滴下 药液………………7分
当 时， ，即 ，此时 ………10分
当 时， ，即 ，此时 ………13分
综上可得 ………………14分
22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3
小题满分6分.
解：（1）将已知条件 变形为 ……1分
由于 ，则 （常数）……3分
即数列 是以 为首项，公比为 的等比数列……4分
所以 ，即 （ ）。……5分
（2）假设在数列 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为 ， ， （ ， ），由题意得， ，
将 ， ， 代入上式得……7分
………………8分
化简得， ，即 ，得 ，解得
所以，存在满足条件的连续三项为 ， ， 成等比数列。……10分
（3）若 ， ， 成等差数列，则
即 ，变形得 ……11分
由于若 ， 且 ，下面对 、 进行讨论：
① 若 ， 均为偶数，则 ，解得 ，与 矛盾，舍去；
② 若 为奇数， 为偶数，则 ，解得 ；
③ 若 为偶数， 为奇数，则 ，解得 ，与 矛盾，舍去；
④ 若 ， 均为奇数，则 ，解得 ，与 矛盾，舍去；……15分
综上①②③④可知，只有当 为奇数， 为偶数时， ， ， 成等差数列，此时满足条
件点列 落在直线 （其中 为正奇数）上。……16分（不写出直线方程扣1分）
23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.
解：（1）由 得， ………………2分
由题中条件得 ……………………4分
（2）【理科】当 （ ）时， ，依题意可得：
……6分
方程 或 ， 与 均不属于 ……8分
当 （ ）时，方程 无实数解。
注意到
所以函数 在 上无零点。……10分
【文科】当 时， ，依题意可得：
。……6分
方程 或 ， 与 均不属于 （ ）……8分
当 （ ）时，方程 无实数解。
注意到 ，所以函数 在 上无零点。…10分
（3）当 ， 时，有 ，依题意可得：
当 时， 的取值范围是 …12分
所以当 ， 时， 的取值范围是 。…14分
由于 …16分
所以函数 在 （ ）上的取值范围是：
。…18分
数学学习 http://www.yggk.net/math/
