乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验 理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号123456789101112选项BBDCACADADAA
1.选B.【解析】∵，，∴.
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2.选B.【解析】∵，∴的实部为.
3.选D.【解析】∵， ∴.
4.选C.【解析】由函数奇偶性定义得是奇函数，是偶函数，
∵的定义域为，∴既不是奇函数，又不是偶函数.
5.选A.【解析】由图可知，，解得.
6.选C.【解析】该几何体的直观图，如图所示
可知，是直角三角形，
∵，，，，不是直角三角形.
7.选A.【解析】∵图象经过点，
∴，解得，
由及函数在区间上是单调函数，可得，∴
8.选D.【解析】由题意知，，即，解得（舍），或.
9.选A.【解析】执行第一次运算时：
执行第二次运算时：
执行第三次运算时：
∴输出
10.选D.【解析】设抛物线的焦点为，准线为，分别过点作直线的
垂线，垂足分别为，由抛物线定义，得
.(是的中点)
11.选A.【解析】设中点分别为，
则
由外心的定义知，，因此，，
，∴…①
∵，∴
∴…③
把③代入①②得，解得.
12.选A.【解析】易知，为增函数，
∴若，则有，又，∴，即成立，
∴它的逆否命题：若，则成立；
在递增，在递减，
；
在递增，在递减，
，；
当时，方程有两解，不妨设；
方程也有两解，不妨设；
又当时，，∴，
这样当时，就有，或，故，C. D.不正确.
二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.
13.填.【解析】此二项式的展开式的通项为，
令，，∴常数项为.
14.填.【解析】根据题意得，此双曲线的渐近线方程为，∴，∴.
15.填.【解析】 ∵是公差为的等差数列，∴，
∴，∴
∴数列的前9项和为.
16.填.【解析】如图，设的外接球的球心
为，∵在球面上，
∴球心在正方体上下底面中心连线上，点也在球上，∴
∵棱长为，∴，设，
则，在中，有…①，
在中，…②，将①代入②，得，
∵，∴，∴，于是.
三、解答题
17.（12分）
（Ⅰ）∵，∴，∴，故
由，得，∴，即； …6分
（Ⅱ）
由，知，故，∴
18.（12分）
如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则有，
（Ⅰ），
设平面的法向量，
则，即，取，则，
设，则
∵平面，∴当且仅当，即时，∥平面
∴，，∴，
即是的中点时，∥平面； …6分
（Ⅱ），设平面的法向量
由，得，，取，则，
设二面角的平面角为，易知，
∴． …12分
19.（12分）
（Ⅰ）工资薪金所得的组区间的中点值依次为，取这些值的概率依次为，算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为（元），按工资个税的计算公式（元），
（元），
（元），
（元），
（元）；
∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为
（元）； …6分
（Ⅱ）这5组居民月可支配额取的值分别是
（元）；
（元）；
（元）；
（元）；
（元）；
∴的分布列为：
（元） …12分
20.（12分）
（Ⅰ）已知直线直线经过椭圆：的短轴端点 和右焦点，可得，∴
故椭圆的标准方程为； …5分
（Ⅱ）由椭圆的方程可得右焦点为，因为直线的斜率为，且直线经过右焦点，所以直线的方程为，
设，则点的坐标为
⑴当时，因为点在椭圆上，∴ …①
∴，依题意知
∴直线的斜率
则直线的方程为 …②
由①②得 …③
把直线的方程代入椭圆的方程得，
即…④
∵是方程④的两个实数解，∴，…⑤
∴…⑥
把⑤代入⑥得，…⑦
把⑤⑦代入③得，
即，令，解得
此时，直线过定点
⑵当时，点为椭圆的长轴端点，故点与点重合，此时直线即为 轴，而轴过点，则直线也过点
综上所述，直线直线过定点. …12分
21.（12分）
（Ⅰ）令
则，，
∵
当时，，∴…①
∴，∴函数为增函数，
∴，即…②
∴函数为增函数，
∴，即…③
∴函数为增函数，
∴，即当时，成立； …6分
（Ⅱ）⑴当时，∵
∴
∴函数为增函数，
当时，，当时，，
∴当时，函数的零点为，其零点个数为个
⑵当时，∵对，
∴函数为奇函数，且 …④
下面讨论函数在时的零点个数：
由（Ⅰ）知，当时，，令
∴
则，
当时，，∴，∴
∴函数为增函数
∴当时，；当时，
∴函数的减区间为，增区间为
∴当时，…⑤
即对时， …⑥
又由（Ⅰ）知，
当时，由③知，∴
故，当时，
由函数为增函数和⑥⑦及函数零点定理知，存在唯一实数
使得，又函数为奇函数
∴函数，有且仅有三个零点． …12分
22.（10分）
（Ⅰ）∵
又∵与切于点，是弦，∴
∴； …5分
（Ⅱ）∵，，∴∽
∴，∴ …①
而∽，∴ …②
由①②得
又∵，∴． …10分
23.（10分）
（Ⅰ）曲线的参数方程为，设，
则，即； …5分
（Ⅱ）设，
则. …10分
24.（10分）
（Ⅰ）设函数，则，画出其图象，可知，
要使不等式的解集不是空集，需且只需
∴的取值范围的集合； …5分
（Ⅱ）∵，∴
∵
∵，∴， ∴. …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.
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