2014
西城一模文科
数学答案(yggk首发)
北京市西城区2014年高三一模试卷
数 学（文科） 2014.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集，集合，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）
2．已知平面向量，，那么等于（ ）（A）（B）（C）（D）
3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心
率为（ ）（A）（B）（C）（D）
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）（A）（B）（C）（D）
6． 设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在
上是增函数”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （A）（B）5（C）6（D）7
8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）（A） 4个（B）6个（C）10个（D）14个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．，其中，则______．10．的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．
．若，则实数______；函数的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框，那么输出的a值为______．．表示的平面区域是一个
四边形，则实数的取值范围是__________.
14．中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点. 设，，记，则____； 函数的值域为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．13分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. .
（Ⅰ）的大小；
（Ⅱ），，求的值.
16．13分）
某批次的某种灯泡寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成三个等级，寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
寿命（天）频数频率0307060合计（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从这灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好是品的概率；
（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级恰好与按等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值.14分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，， N是棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）在棱SC上是否存在点P，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18．13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（Ⅱ），，求的取值范围．
19．14分）
已知椭圆的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，O为坐标原点.
（）求椭圆W的方程.
（）设斜率为的直线l与W相交于两点，记面积的最大值为，证明：.
20．13分）
在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列.
（）试写出的一个3项子列，并使为等比数列；
（）为的一个项子列，且为等数列，证明：满足；
（）为的一个6项子列，且为等比数列，证明：.．．．．．．．．．．
11． 12．． ．
注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．13分）
（Ⅰ）解：因为 ，
所以 ， ……………… 4分
又因为 ，
所以 . ……………… 6分
（Ⅱ）解：因为 ，，
所以 ， ………………8分
由正弦定理 ， ………………11分
得 . ………………13分
16．13分）
（Ⅰ）解：，. ……………… 3分
：灯泡恰好是品. ……………… 4分灯泡恰好是品. …………… 8分：.
……………… 10分，
所以的最小值为． ……………… 13分17．14分）
（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，， ……………… 1分平面，平面，
所以 平面……………… 3分，平面SAD， ……………… 5分
平面，
所以 . ……………… 6分
，且N为AD中点，
所以 .
又因为 ，
所以 平面……………… 8分BD交NC于点F，在平面SNC中过F作交于点P，连接PB，PD.
因为 平面平面…………… 11分平面平面…………… 12分矩形，
所以 .
在中，因为，.
则在棱SC上存在点P，使得平面平面，此时. ……… 14分18.（本小题满分13分）
（）解：由，得，……………… 2分
所以 ，
又因为 ，
所以函数的图象在处的切线方程为.……………… 4分
（）解：由 ，得，
即 .……………… 6分
设函数，
则 ，……………… 8分
因为，
所以，，
所以当时，，……………… 10分
故函数在上单调递增，
所以当时，.……………… 11分
因为，成立，，成立 所以.……………… 13分
．14分）
（）解：由题意，得椭圆W的半焦距，右焦点，上顶点，……分
所以直线的斜率为，
解得 ，……………… 3分
由 ，得，
所以椭圆W的方程为.……………… 5分
（）证明：设直线l的方程为，其中或2，.… 6分
由方程组 得，……………… 7分
所以 ， （*）
由韦达定理，得, .……………… 8分
所以 …… 9分因为原点到直线的距离，……………… 10分
所以 ，……………… 11分
当时，因为，
所以当时，的最大值，
验证知（*）成立；……………… 12分
当时，因为，
所以当时，的最大值；
验证知（*）成立.
所以 .……………… 14分
注：本题中对于任意给定的，的面积的最大值都是.20．13分）
（）解：答案不唯一. 如3项子列，，.……………… 2分（），
所以 . ……………… 4分，，
所以 ，
解得 .
所以. ……………… 7分（）证明：由题意，设的公比为，
则 .
因为为的一个6项子列，
所以 为正有理数，.……………… 8分
设 ，且互质，）.
当时，
因为 ，
所以
，
所以 .……………… 10分
当时，
因为 中的项，且互质，
所以 ，
所以
.
因为 ，，
所以 .
综上， ……………… 13分
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