北京101中学2014届高三年级第三次月考

数 学 试 卷（理）

                                      　　　　　　　 命题人：西林涛、张德萍

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数等于

A．iB．C．1D．—1

2．设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于

A．[－1，3）    B．（0，2]         C．（1，2]          D．（2，3）

3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A．B．C．D．

4．设{}是公比为正数的等比数列，若a3＝4，a5＝16，则数列{}的前5项和为

A．41      B．15     C．32      D．31 

. 函数的图象大致是

 ．曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为

A．2B.-2C.D.

．如图，AB是半圆O的直径，C，D是孤AB的三等分点，M、N

是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是

A．2B．5     C．26   D．29

．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于

A.B. C.D.

．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为

A． B． C． D． 

部分图象

如图所示,若,则等于 

A．       B．     C．      D．

11．已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令

，则

A．    B.    C.     D. 

12．定义域为[]的函数图像的两个端点为A、B，M(x，y)是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立，则称函数f (x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 

    A.       B.        C.     D. 

13．已知函数的导函数，则=     。

1．在中，，AC=2，的面积为4，则A的长为                 。

15．已知数列的最小值为      。 

16．已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数t，的最小值是            。

17.（本题满分12分），求数列{}的前n项和．

18．（本题满分12分）海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处。（假设游船匀速行驶）

（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远。

1（本题满分12分）已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为求函数的解析式；（）若对于任意的不等式在上恒成立求的取值范围.

（本题满分12分）函数,.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为,且过点.(1)求函数的达式;

()在△中、、分别是角、、的对边,,,角C为锐角.且满足,求的值.

（本题满分12分）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.

（）求的值；（）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．  

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知曲线为参数），为参数）。

（1）化的方程为普通方程;

（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线为参数）距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（1）解不等式;

（2）若关于的不等式的解集不是空集，试求实数的取值范围.

北京101中学2014届高三第三次月考数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：

1D2B3A4D5A 6A7C8C9A10C11A12D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．     15． 16．

三、解答题：

17.

18、

   （6分）

（6分）

19、（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．（Ⅱ）解：．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：

＋0－－0＋↗极大值↘↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．

在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得．20、解：(Ⅰ).  ∵最高点与相邻对称中心的距离为,则,即, ∴,∵,∴,又过点,∴,即,∴.∵,∴,∴. 

(Ⅱ),由正弦定理可得, ∵,∴,                              

又,,∴,由余弦定理得,∴.      (6分)

21、解:(Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x, f((x)=--2ax+1=-.令Δ=1-8a. 当a≥时,Δ≤0,f((x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.当00,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2, 不妨设x10, 这时f(x)不是单调函数. 综上,a的取值范围是[,+∞). (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0,)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2, 且x1+x2=,x1x2=. 

f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax+x1-lnx2-ax+x2 =-(lnx1+lnx2)-(x1-1)-(x2-1)+(x1+x2)=-ln(x1x2)+(x1+x2)+1=ln(2a)++1. 令g(a)=ln(2a)++1,a∈(0,], 则当a∈(0,)时,g((a)=-=<0,g(a)在(0,)单调递减, 所以g(a)>g()=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2.(6分)

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x

x

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