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数学查漏补缺试题及其答案详解
1.函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为
A. B. C. D.
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A． B． C． D．
3.若向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为A． B．
C． D．
5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,
体积为_____________.
6.设 、 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题：
① 若 则 ②若 ， ，则
③ 若 ，则 ④若 ，则
其中所有真命题的序号是_____
7.设不等式组 表示的平面区域为D，若直线 上存在区域D上的点，则 的取值范围是_____.
8.已知不等式组 所表示的平面区域为 ，则 的面积是_____；
设点 ，当 最小时，点 坐标为_____．
9.设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
10.设函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知椭圆 的离心率为 ．⊙ 过椭圆 的一个顶点和一个焦点，圆心 在此椭圆上，则满足条件的点 的个数是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.如果直线 总不经过点 ，其中 ，那么 的取值范围是_____.
13.如图所示，正方体 的棱长为1， E、F 分别是棱 、 的中点，过直线E、F的平面分别与棱 、 交于M、N，
设BM= x， ，给出以下四个命题：
①平面MENF 平面 ；
②四边形MENF周长 ， 是单调函数；
③四边形MENF面积 ， 是单调函数；
④四棱锥 的体积 为常函数；
以上命题中正确命题的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14.直线 与抛物线 相切于点 . 若 的横坐标为整数，那么 的最小值为
15.已知数列 的前 项和 若 是 中的最大值，则实数 的取值范围是_____.
解答题部分：
1. 已知函数
（I）求 的最小正周期和值域；
（II）在 中，角 所对的边分别是 ，若 且 ，试判断 的形状.
2.如图，在直角坐标系 中，点 是单位圆上的动点，过点 作 轴的垂线与射线 交于点 ，与 轴交于点 ．记 ，且 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）求 面积的最大值.
3. 已知函数 ,且
﹙Ⅰ﹚求 的值.
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大和最小值.
4. 已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 .
(I) 若 ，求 的值；
(Ⅱ) 若 且 ，求 的取值范围.
5.数列 的各项都是正数，前 项和为 ,且对任意 ，都有 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求数列 的通项公式.
6. 已知正三角形 与平行四边形 所在的平面互相垂直.
又 ，且 ，点 分别为 的中点. 求证：
7. 如图，四棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ．底面 为梯形， ， . ，点 在棱 上，且 ．
（Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ；
（Ⅱ）求证： ∥平面
8. 设 、 是函数 的两个极值点.
（I）若 ，求函数 的解析式；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值.
9. 已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求函数 的极值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间.
10. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且经过点 ，又 是椭圆 上的两点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 过 ，且 ，求 .
11. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，过原点 的直线与椭圆 交于 两点，直线 交椭圆 于点 ，求△ 面积的最大值．
文 科 2013年5月
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C A ，
题号 6 7 8 9 10
答案 ①③
C C
题号 11 12 13 14 15
答案 C
B 1
解答题部分：
１. 解：﹙Ⅰ﹚
所以
﹙Ⅱ﹚由 ，有 ，
所以
因为 ，所以 ,即 .
由余弦定理 及 ，所以 .
所以 所以 .
所以 为等边三角形.
2. 解：依题意 ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）由三角函数定义，得 ，从而
所以
因为 ，所以当 时，等号成立,
所以 面积的最大值为 .
3.解：（Ｉ）
（Ⅱ）因为
设 因为 所以
所以有
由二次函数的性质知道， 的对称轴为
所以当 ，即 ， 时，函数取得最小值
当 ，即 ， 时，函数取得最大小值
4.解：（I）因为 所以
所以 是公差为 的等差数列，
又 ，所以 ，解得 ，所以
（Ⅱ）因为 且
所以 ，得到
5.证明：（I）在已知式中，当 时，
因为 ，所以 ,
所以 ，解得
(Ⅱ) 当 时， ①
②
当 时， ①
②
①－②得，
因为 所以 ，
即 因为 适合上式
所以 (n∈N+)
（Ⅲ）由（I）知 ③
当 时， ④
③－④得 －
因为 ,所以
所以数列 是等差数列，首项为1，公差为1，可得
6. 证明：因为在正三角形 中， 为 中点，
所以
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，所以
在 中，
所以可以得到 ，所以 ，
即 ，又
所以 平面 ，所以
7.证明：
（Ⅰ）因为 ⊥底面ABCD，
所以 ．
又 ， ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
（Ⅱ）因为 ⊥底面 ，所以
又 ，且
所以 平面 ，所以 ．
在梯形 中，由 ，得 ，
所以 ．
又 ，故 为等腰直角三角形．
所以 ．
连接 ，交 于点 ，则
在 中， ，
所以
又 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ．
8.解（I）因为 ，所以
依题意有 ，所以 .
解得 ，所以 . .
（Ⅱ）因为 ,
依题意， 是方程 的两个根，且 ，
所以 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
设 ，则 .
由 得 ，由 得 .
即函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，
所以当 时， 有极大值为96，所以 在 上的最大值是96，
所以 的最大值为 .
9. 解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ， .
令 ，即 .
因为 函数 的定义域为 ，
所以 .
因为 当 时， ；当 时， ，
所以 函数 在 时取得极小值6.
（Ⅱ）由题意可得 .
由于函数 的定义域为 ，
所以 当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
当 时， .
所以 当 时，函数 的单调递增区间是 ， ，
单调递减区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ；
当 时，函数 的单调递增区间是
10. 解：（Ⅰ）因为 点 在椭圆 ： 上，
所以 .
所以 .
所以 椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）因为 .
设 ，得
， .
因为直线 过 ，且 ，
所以 .
所以 .
所以
所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
11. 解：（Ⅰ）椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ，
由 ，得 ，
所以 ， ．
因为 是 的中点，
所以 ．
由 ，
设 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，此时△ 面积取最大值,最大值为 ．
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