2013年海淀区高三理科数学查漏补缺试题及其答案详解

阳光高考    来源: yggk.net      2013-05-24         
文章标签: [数学试题]   [北京海淀区]   [海淀模拟]   [查漏补缺]  

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1.函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为
A.               B.                 C.                 D.  
2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是  
A.  B.  C.  D. 
3.若向量 满足 ,且 ,则向量 的夹角为
 A.30°         B.45°   C.60° D.90°
4.已知函数 ,则 , , 的大小关系为A.            B. 
C.             D. 
5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____,
体积为_____________. 
6.设 、 是不同的直线, 、 、 是不同的平面,有以下四个命题:
① 若  则      ②若 , ,则 
③ 若 ,则    ④若 ,则 
其中所有真命题的序号是_____
7.设不等式组 表示的平面区域为D,若直线 上存在区域D上的点,则 的取值范围是_____. 
8.已知不等式组 所表示的平面区域为 ,则 的面积是_____;
设点 ,当 最小时,点 坐标为_____.
9.  的展开式中的常数项为          
10. 计算             . 
11.若直线 的参数方程为 其中 为参数,则直线 的斜率为_______. 
12.如图,已知 是圆 的切线,切点为 , 交圆 于 两点,
 ,则 
13.如图所示,正方体 的棱长为1,  分别是棱 , 的中点,过直线 的平面分别与棱 、 交于 ,
设 , ,给出以下四个命题:
①平面  平面 ;
②四边形 周长 , 是单调函数;
③四边形MENF面积 , 是单调函数;
④四棱锥 的体积 为常函数;
以上命题中正确命题的个数(     )
A.1     B.2    C.3     D.4
14.直线 与抛物线 相切于点 . 若 的横坐标为整数,那么 的最小值为      .
15.已知数列 的前 项和   若 是 中的最大值,则实数 的取值范围是_____.
 
解答题部分:
1. 已知函数 
(I)求 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在 中,角 所对的边分别是 ,若 且 ,试判断  的形状.
2. 如图,在直角坐标系 中,点 是单位圆上的动点,过点 作 轴的垂线与射线 交于点 ,与 轴交于点 .记 ,且 .
(Ⅰ)若 ,求 ; 
(Ⅱ)求 面积的最大值.
3. 已知函数 ,且 
(Ⅰ)求 的值.
(Ⅱ)求函数 在区间  上的最大和最小值.
4.数列 的各项都是正数,前 项和为 ,且对任意 ,都有 .
 (Ⅰ)求证: ;
 (Ⅱ)求数列 的通项公式. 
5. 已知正三角形 与平行四边形 所在的平面互相垂直.
又 ,且 ,点 分别为 的中点.
 (I) 求证: 
 (Ⅱ) 求二面角 值.
6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率;
(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 为摸出两球中白球的个数,求 的期望和方差.
 
7. 已知函数 在 处有极值. 
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若直线 与函数 有交点,求实数 的取值范围.
 
8. 已知函数 ,其中 .
(Ⅰ)求 的单调递减区间;
(Ⅱ)若存在 , ,使得 ,求 的取值范围.
9. 设函数 ,其图象在点 处的切线的斜率分别为 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若函数 的递增区间为 ,求 的取值范围.
10. 已知椭圆  的离心率为 ,且经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设 为椭圆 上的两个动点,线段 的垂直平分线交 轴于点 ,求  的取值范围.
11.如图,已知 , 两点分别在 轴和 轴上运动,并且满足 , .  
(Ⅰ)求动点 的轨迹方程;
(Ⅱ)若正方形 的三个顶点 在点 的轨迹上,
求正方形 面积的最小值.
 
12. 动圆过点 且在 轴上截得的线段长为 ,记动圆圆心轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ)已知 是曲线 上的两点,且 ,过 两点分别作曲线 的切线,设两条切线交于点 ,求△ 面积的最大值.
13.已知椭圆 的左右两个顶点分别为 ,点 是直线 上任意一点,直线 , 分别与椭圆交于不同于 两点的点 ,点 . 
(Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点 的坐标;
(Ⅱ)(i)证明 三点共线;   
(Ⅱ)求 面积的最大值。
2013年最后阶段高三数学复习参考资料答案     
                                 理科                  2013年5月
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C A  ,
题号 6 7 8 9 10
答案 ①③  
 
15 
题号 11 12 13 14 15
答案 -2  
B 1 
 
解答题部分:
1. 解:﹙Ⅰ﹚ 
                                                                
                        
所以         
﹙Ⅱ﹚由 ,有 ,          
    所以   
因为 ,所以 ,即 . 
由余弦定理 及 ,所以 .              
所以  所以 .
所以 为等边三角形.
2. 解:依题意 ,所以 .                            
因为 ,且 ,所以 .              
所以 .  
(Ⅱ)由三角函数定义,得 ,从而 
 
所以    
     因为 ,所以当 时,等号成立
     所以 面积的最大值为  .    
3.解:(I)  
(II)因为 
设 因为 所以 
所以有  
由二次函数的性质知道, 的对称轴为   
所以当  ,即 , 时,函数取得最小值 
    当 ,即 , 时,函数取得最大小值
4. 证明:(I)当 时, 
    因为 ,所以 
    当 时,   ①
       ②
    ①-②得, 
    因为   所以 ,
    即   因为 适合上式
    所以  
   (Ⅱ)由(I)知   ③
        当 时,    ④
        ③-④得 - 
        因为   ,所以 
所以数列 是等差数列,首项为1,公差为1,可得
5.(I)因为在正三角形 中, 为 中点,
所以 
又平面  平面 ,且平面  平面 ,
所以 平面 ,所以  
在 中, 
所以 ,所以 ,
即 ,又 
   所以 平面 ,所以 
(Ⅱ)以 为坐标原点, 所在直线为坐标轴建立坐标系,
则 , 
由(I)得平面 的法向量为 
设平面 的法向量为 
因为 
所以 解得 ,取 
所以 ,
所以二面角 的值为 .
6. 解:(Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件A,
摸出一球得白球的概率为 ,
摸出一球得黑球的概率为 , 
所以P(A)= × + × = 
 答:两球颜色不同的概率是 
(Ⅱ)由题知 可取0,1,2, 依题意得   
    
则 , 
                            答: 摸出白球个数 的期望和方差分别是 , .
7. 解:(Ⅰ)因为 ,
所以 
由 ,可得  
经检验 时,函数 在 处取得极值,
 ,
 
而函数 的定义域为 ,
当 变化时, , 的变化情况如下表: 
 
极小值 
由表可知, 的单调减区间为 , 的单调增区间为
(Ⅱ)若 ,则有 ,其中 ,
所以 有大于 的根,
显然 ,设 
则其对称轴为 ,根据二次函数的性质知道,
只要 
解得 或  .
8. (Ⅰ)解: 
① 当 时,令 ,解得    
 的单调递减区间为 ;单调递增区间为 , 
当 时,令 ,解得  ,或 
② 当 时, 的单调递减区间为 , 
单调递增区间为 , 
③ 当 时, 为常值函数,不存在单调区间
④ 当 时, 的单调递减区间为 , 
单调递增区间为 ,
(Ⅱ)解:① 当 时,若 , 
若 , ,不合题意
② 当 时,显然不合题意
③ 当 时,取 ,则 
取 ,则 ,符合题意
④ 当 时,取 ,则 
取 ,则 ,符合题意
综上, 的取值范围是 .
9.解:(Ⅰ)证明: ,由题意及导数的几何意义得
 ,              (1)
 ,          (2)           
又 ,可得 ,即 ,故  
由(1)得 ,代入 ,再由 ,得
 ,                         (3)          
将 代入(2)得 ,即方程 有实根.
故其判别式 得       ,或 ,    (4)            
由(3),(4)得 ;                        
(Ⅱ)由 的判别式 ,
知方程 有两个不等实根,设为 ,
又由 知, 为方程( )的一个实根,则由根与系数的关系得
 ,   
当 或 时, ,当 时, ,
故函数 的递增区间为 ,由题设知 ,
因此 ,由(Ⅰ)知 得
 的取值范围为 .                      
  
10.解: (Ⅰ)椭圆 的方程为: 
(Ⅱ)设 ,则  , .
依题意有  ,即 ,
整理得  .
将 , 代入上式,消去 ,
得  .
依题意有  ,所以 .
注意到  , ,且 两点不重合,从而 .
所以  .
11. 解:(I)  
 
由已知 则 
 
(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 在 轴的下方(包括 轴),
记 的坐标分别为 ,其中 
并设直线 的斜率为 
则有 ……①
又因为 在抛物线 上,故有
 代入①式得
 ……②
因为 
即 
所以 
所以 将②代入可得:
 
即 , 
得  
正方形的边长为 
  
 
易知 ,  所以 
所以正方形ABCD面积的最小值为 .
 
12.解:(Ⅰ)设圆心坐标为 ,那么 ,化简得 
(Ⅱ)解法一:设 
设直线PQ的方程为 ,代入曲线C的方程得 , 
所以 
因为 ,所以 
所以,  
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为 
两式相减,得 
 , , 
代入过P点曲线C的切线方程得,  
 , 
    即两条切线的交点M的坐标为( ),所以点M到直线PQ的距离为
 
当 时,  ,此时 的面积的取最大值 
解法二: 设 ,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
 
两式相减得 ,
 , , 
代入过P点曲线C的切线方程得,  
 , 
即两条切线的交点M的坐标为( , )
设PQ中点为C,则C的坐标为( , ),所以MC平行于y轴,所以
 
设点M到直线PQ的距离为d,那么 (当且仅当 时等号成立) .
又因为 ,所以 ,
即 , .
所以  (当且仅当 时等号成立) .
因此 , ,
所以 的面积的最大值为 .
13.解:(Ⅰ) , ,所以, 。
所以,椭圆的离心率 。
右焦点 。
(Ⅱ)(i) , 。设 ,显然 。
则 , 。
由 解得 
由 解得 
当 时, , 三点共线。
当 时, ,
 ,
所以, ,所以, 三点共线。
综上, 三点共线。
(Ⅱ)因为 三点共线,所以,△PQB的面积
  
设 ,则 
因为 ,且 ,所以, ,且仅当 时, ,
所以, 在 上单调递减。
所以, ,等号当且仅当 ,即 时取得。
所以,△PQB的面积的最大值为 .
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