阳光高考提供：2013年海淀区高三理科
数学查漏补缺试题及其答案详解
1.函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为
A. B. C. D.
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A． B． C． D．
3.若向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为A． B．
C． D．
5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,
体积为_____________.
6.设 、 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题：
① 若 则 ②若 ， ，则
③ 若 ，则 ④若 ，则
其中所有真命题的序号是_____
7.设不等式组 表示的平面区域为D，若直线 上存在区域D上的点，则 的取值范围是_____.
8.已知不等式组 所表示的平面区域为 ，则 的面积是_____；
设点 ，当 最小时，点 坐标为_____．
9. 的展开式中的常数项为
10. 计算 .
11.若直线 的参数方程为 其中 为参数，则直线 的斜率为_______.
12.如图，已知 是圆 的切线，切点为 , 交圆 于 两点，
，则
13.如图所示，正方体 的棱长为1, 分别是棱 ， 的中点，过直线 的平面分别与棱 、 交于 ，
设 ， ，给出以下四个命题：
①平面 平面 ；
②四边形 周长 ， 是单调函数；
③四边形MENF面积 ， 是单调函数；
④四棱锥 的体积 为常函数；
以上命题中正确命题的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14.直线 与抛物线 相切于点 . 若 的横坐标为整数，那么 的最小值为 .
15.已知数列 的前 项和 若 是 中的最大值，则实数 的取值范围是_____.
解答题部分：
1. 已知函数
（I）求 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在 中，角 所对的边分别是 ，若 且 ，试判断 的形状.
2. 如图，在直角坐标系 中，点 是单位圆上的动点，过点 作 轴的垂线与射线 交于点 ，与 轴交于点 ．记 ，且 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）求 面积的最大值.
3. 已知函数 ,且
（Ⅰ）求 的值.
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大和最小值.
4.数列 的各项都是正数，前 项和为 ,且对任意 ，都有 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式.
5. 已知正三角形 与平行四边形 所在的平面互相垂直.
又 ，且 ，点 分别为 的中点.
(I) 求证：
(Ⅱ) 求二面角 值.
6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记 为摸出两球中白球的个数，求 的期望和方差.
7. 已知函数 在 处有极值.
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若直线 与函数 有交点，求实数 的取值范围.
8. 已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）求 的单调递减区间；
（Ⅱ）若存在 ， ，使得 ，求 的取值范围.
9. 设函数 ，其图象在点 处的切线的斜率分别为 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若函数 的递增区间为 ，求 的取值范围．
10. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 上的两个动点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 的取值范围.
11.如图，已知 ， 两点分别在 轴和 轴上运动，并且满足 ， .
（Ⅰ）求动点 的轨迹方程；
（Ⅱ）若正方形 的三个顶点 在点 的轨迹上，
求正方形 面积的最小值.
12. 动圆过点 且在 轴上截得的线段长为 ，记动圆圆心轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 的方程;
（Ⅱ）已知 是曲线 上的两点，且 ，过 两点分别作曲线 的切线，设两条切线交于点 ，求△ 面积的最大值．
13.已知椭圆 的左右两个顶点分别为 ，点 是直线 上任意一点，直线 ， 分别与椭圆交于不同于 两点的点 ，点 .
（Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点 的坐标；
（Ⅱ）（i）证明 三点共线；
（Ⅱ）求 面积的最大值。
理科 2013年5月
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C A ，
题号 6 7 8 9 10
答案 ①③
15
题号 11 12 13 14 15
答案 -2
B 1
解答题部分：
１. 解：﹙Ⅰ﹚
所以
﹙Ⅱ﹚由 ，有 ，
所以
因为 ，所以 ,即 .
由余弦定理 及 ，所以 .
所以 所以 .
所以 为等边三角形.
2. 解：依题意 ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）由三角函数定义，得 ，从而
所以
因为 ，所以当 时，等号成立
所以 面积的最大值为 .
3.解：（Ｉ）
（ＩＩ）因为
设 因为 所以
所以有
由二次函数的性质知道， 的对称轴为
所以当 ，即 ， 时，函数取得最小值
当 ，即 ， 时，函数取得最大小值
4. 证明：（I）当 时，
因为 ，所以
当 时， ①
②
①－②得，
因为 所以 ，
即 因为 适合上式
所以
（Ⅱ）由（I）知 ③
当 时， ④
③－④得 －
因为 ,所以
所以数列 是等差数列，首项为1，公差为1，可得
5.（I）因为在正三角形 中， 为 中点，
所以
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，所以
在 中，
所以 ，所以 ，
即 ，又
所以 平面 ，所以
（Ⅱ）以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立坐标系，
则 ，
由（I）得平面 的法向量为
设平面 的法向量为
因为
所以 解得 ，取
所以 ，
所以二面角 的值为 .
6. 解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，
摸出一球得白球的概率为 ，
摸出一球得黑球的概率为 ，
所以P（A）＝ × ＋ × ＝
答：两球颜色不同的概率是
（Ⅱ）由题知 可取0，1，2， 依题意得
则 ，
答： 摸出白球个数 的期望和方差分别是 ， .
7. 解：（Ⅰ）因为 ，
所以
由 ，可得
经检验 时，函数 在 处取得极值，
，
而函数 的定义域为 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值
由表可知， 的单调减区间为 ， 的单调增区间为
（Ⅱ）若 ，则有 ，其中 ，
所以 有大于 的根，
显然 ，设
则其对称轴为 ，根据二次函数的性质知道，
只要
解得 或 .
8. （Ⅰ）解：
① 当 时，令 ，解得
的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ，
当 时，令 ，解得 ，或
② 当 时， 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ，
③ 当 时， 为常值函数，不存在单调区间
④ 当 时， 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ，
（Ⅱ）解：① 当 时，若 ，
若 ， ，不合题意
② 当 时，显然不合题意
③ 当 时，取 ，则
取 ，则 ，符合题意
④ 当 时，取 ，则
取 ，则 ，符合题意
综上， 的取值范围是 ．
9.解：（Ⅰ）证明： ，由题意及导数的几何意义得
， （1）
， （2）
又 ，可得 ，即 ，故
由（1）得 ，代入 ，再由 ，得
， （3）
将 代入（2）得 ，即方程 有实根．
故其判别式 得 ，或 ， （4）
由（3），（4）得 ；
（Ⅱ）由 的判别式 ，
知方程 有两个不等实根，设为 ，
又由 知， 为方程（ ）的一个实根，则由根与系数的关系得
，
当 或 时， ，当 时， ，
故函数 的递增区间为 ，由题设知 ，
因此 ，由（Ⅰ）知 得
的取值范围为 .
10.解: （Ⅰ）椭圆 的方程为：
（Ⅱ）设 ，则 ， .
依题意有 ，即 ，
整理得 .
将 ， 代入上式，消去 ，
得 .
依题意有 ，所以 .
注意到 ， ，且 两点不重合，从而 .
所以 .
11. 解：(I)
由已知 则
（Ⅱ）如图，不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 在 轴的下方（包括 轴），
记 的坐标分别为 ，其中
并设直线 的斜率为
则有 ……①
又因为 在抛物线 上，故有
代入①式得
……②
因为
即
所以
所以 将②代入可得：
即 ，
得
正方形的边长为
易知 , 所以
所以正方形ABCD面积的最小值为 .
12．解：（Ⅰ）设圆心坐标为 ，那么 ，化简得
（Ⅱ）解法一：设
设直线PQ的方程为 ，代入曲线C的方程得 ，
所以
因为 ，所以
所以,
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减，得
， ，
代入过P点曲线C的切线方程得,
，
即两条切线的交点M的坐标为（ ），所以点M到直线PQ的距离为
当 时, ,此时 的面积的取最大值
解法二: 设 ,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减得 ，
， ，
代入过P点曲线C的切线方程得,
，
即两条切线的交点M的坐标为( ， )
设PQ中点为C，则C的坐标为( ， )，所以MC平行于y轴，所以
设点M到直线PQ的距离为d，那么 (当且仅当 时等号成立) ．
又因为 ，所以 ，
即 ， ．
所以 (当且仅当 时等号成立) ．
因此 ， ，
所以 的面积的最大值为 ．
13.解:（Ⅰ） ， ，所以， 。
所以，椭圆的离心率 。
右焦点 。
（Ⅱ）（i） ， 。设 ，显然 。
则 ， 。
由 解得
由 解得
当 时， ， 三点共线。
当 时， ，
，
所以， ，所以， 三点共线。
综上， 三点共线。
（Ⅱ）因为 三点共线，所以，△PQB的面积
设 ，则
因为 ，且 ，所以， ，且仅当 时， ，
所以， 在 上单调递减。
所以， ，等号当且仅当 ，即 时取得。
所以，△PQB的面积的最大值为 .
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