2015
菏泽一模文科
数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知复数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2、设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
3、给定函数① ② ③ ④ ，其中在区间 上单调递减的函数序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4、在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为 ，
众数 ，平均数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6、已知平面 ，直线 ，且有 ，给出下列命题：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确命题个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、若函数 的图象如图所示，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
8、设双曲线 的离心率为2，且一个焦点与抛物线 的交点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9、已知函数 ，若函数 在R上有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、若函数 ，并且 ，则下列各结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、圆心在直线 上的圆与y轴交于两点 ，则该圆的标准方程为
12、已知 满足不等式组 ，则 的最大值
与最小值的比为
13、定义在实数集R上的函数 满足 ，
且
现有以下三种叙述①8是函数 的一个周期；
② 的图象关于直线 对称；③ 是偶函数。
其中正确的序号是
14、执行如图中的程序框图，如果输入的 ，则输出的 所在区间是
15、在实数集R中，我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量 上也可以定义一个称“序”的关系，记为“ ”，定义如下：对于任意两个向量 ，“ ”当且仅当“ ”或“ 且 ”，按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：
①若 ，则
②若 ，则 ；
③对于 ，则对于任意 ；
④对于任意向量 ，若 ，则
其中真命题的序号为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知函数 ，且当 时， 的最小值为2，
（1）求 的值，并求 的单调递增区间；
（2）先将函数 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再Ian个所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上所有根之和。
17、（本小题满分12分）
如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且
（1）证明：平面ABEF 平面BCDE；
（2）求三棱锥 的体积
18、（本小题满分12分）
某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生
数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83.
（1）求 和 的值；
（2）计算甲组7位学生成绩的方差 ；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率。
19、（本小题满分12分）
数列 的前n项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求数列 的通项公式；
（3）令 ，求数列 的 n项和 。
20、（本小题满分13分）
设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）令 ，其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立，求实数 的取值范围。
（3）当 时，方程 在区间 内有唯一实数解，求实数 的取值范围。
21、（本小题满分14分）
椭圆 过点 ，离心率为 ，左右焦点分别为 ，过点 的直线交椭圆于 两点。
（1）求椭圆 的方程；
（2）当 的面积为 时，求 的方程。
一、选择题
B D B A D B D C D D
二、填空题
11.（x－2)2＋(y＋3)2＝5 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答题：
16. 解：（1）函数 ，…2分
， ，得 ；…4分
即 ，由题意得 ，
得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ．…6分
（2）由题意得 ，又由 得 ，…9分
解得 ， 即 ，
，故所有根之和为 ．……12分
17. （1）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，
易知 ，且 ，
在多面体中，由 ，知 ，
故 ………………………………2分
又 平面BCDE，
故 平面BCDE，……………………….5分
又 平面ABEF，所以平面ABEF 平面BCDE；…6分
（2）连接AE、CE,则AG为三棱锥 的高，GC为
的高．在正六边形ABCDEF中， ，
故 ，…………..9分
所以 ．……12分
18. 解（1）∵甲组学生的平均分是85，
∴ . ∴x=5. ………………………………1分
∵乙组学生成绩的中位数是83， ∴y=3. …………………………………… 2分
（2）甲组7位学生成绩的方差为：
……………………………………5分
（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E. ……………………6分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)……………………9分
其中甲组至少有一名学生共有7种情况：
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件M，
则 .…………………………………………………………………………12分
19. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分
（2） ，① ②
②－①得， ，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
又当n=1时，b1=8，
所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分
（3） ＝n(3n＋1)＝n•3n＋n，…………………8分
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，
① －②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝ －n×3n＋1
∴ ， ……………………………………….10分
∴数列{cn}的前n项和． . ……12分
20. 解：（1）依题意，知 的定义域为 ，
当 时， ，
………………………………………….2分
令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ；当 时， ，
所以 的单调增区间为 ，减区间为 ；…………….4分
（2）由题意知 ，则有 在(0,3)上恒成立，所以 ，当x0=1时， 取得最大值 ，
所以 ；………………………………………………………………………………8分
（3）当 时， ，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
要使方程 在区间 上有唯一实数解，
只需 有唯一实数解，……………………………………………10分
令 ，∴ ，由 得 ； ，得 ，
∴ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.
，故 . ……………………13分
21. 解：（1） 椭圆 过点 ， 离心率为 ，∴ ，又 ，
椭圆C的方程： ； …….5分
（2）由（1）知 ，①当l的倾斜角是 时，l的方程为 ，
交点 ，此时 ,不合题意. ….7分
②当l的倾斜角不是 时，设l的斜率为k,则其直线方程为 ，
由 消去y得： ，……….……….9分
设 ，则 ，………………10分
， ……………………...12分
又已知 ,
解得 ，
故直线l的方程为 ，即 或 ． ………….14分
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