2014达州二诊数学（理科）试题答案
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达州市2014届第二次诊断性测试
一、选择题 AADAA DCDDB
二、填空题：11. 80； 12. ； 13. ； 14.； 15. ①②③
16. 解：（Ⅰ）
………………………………………………… 4分
由，得，
时，函数的值域为 ………………… 6分
(Ⅱ)
………8分
又 …………………10分
设AB边上的高为CD,所以CD= ………………12分
17. （Ⅰ）时，由及
得， 成立 ……………………3 分
又已知,， ………………………4分
是以5为首项，3为公比的等比数列 . ………………5分
………………………………………6分
(Ⅱ)， ………………………………………7分
则 ………………………8分
…………………12分
18. （Ⅰ）由题意知
解之得。 ……………………………………………………5分
(Ⅱ)由题意知X的取值可能为0，1，2 …………………………6分
P(X＝i)＝(i＝0,1,2)， …………………………9分
X的分布列为
E(X)＝＋＝. ………………12分
19 解:(Ⅰ)证明：∵ EG=2, 又易知AEGD为为正方形，∴DG⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG ；又∵EG=EB=2．可得BG＝CG＝，由知BG⊥CG，，∴CG⊥面BDG （也可建系证明） …………………………6分
(Ⅱ)解：点、分别是、的中点,∴EF//BC 又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，如图建立空间坐标系E﹣xyz．B(2,0,0)，D(0,2,2) C(2,4,0)易求得即EG=1∵G(0,1,0),设平面DBG的法向量为,
∴(－2,2,2), ……………7分
则 ,即
取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴ …………………………9分
取面BCG的一个法向量为.
则cos<>= …………………10分
所以此二面角平面角的余弦值为 ……………………12分
20．解：（Ⅰ）由题意得将代入抛物线得， …2分
抛物线方程为 ………………………3分
求得，在椭圆中， …………………………4分
故椭圆方程为。 …………………………………………6分
（Ⅱ）设BN的斜率为，则直线BN的斜率为，又两直线均过定点B（0，－1），设直线BM：，直线BN： ……………………7分
由得方程，
， …………………………8分
同理由得方程，
，。 …………………………9分
…………………………11分
MN的方程为化简得：
故过定点（0，1） …………………… ……13分
21、（Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，
由解得. ……………………………………………3分
（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，
根据题意，对任意，都存在，使得成立，
则在有解， ……………………………………5分
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上单调递增，， ………7分
①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.
②当，即时，，
若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，
∴在(1，e)上单调递减, ∴存在，使得，符合题意.
若，则，∴在(1，e)上一定存在实数，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.
综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立. …9分
（注：如分离也可根据步骤给分）
（Ⅲ）证明：由题意，可知
方程有两个不相等实根，且，又，，且，
……………………………11分
构造
当，则，在上为增函数，
即成立。 …………………………………14分
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