江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟考试 数 学 2014.03
注意事项：1．本试卷共160分考试时120分钟．
2．答题前，务必将自己的班级、写在答题考试结束后，交回答题．
公式：V＝中S为式：SπRh，其中为一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数＝＋的定义域为
2．(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ．
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．
4．
5．an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ．
6．执行如图所示的程图，则输出的的值
7．(ωx＋φ)(ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π))的．－＝1(a＞b＞0)2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．
9．π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为
10．已知||＝1，||＝，＝＝，则的为 ▲ ．
1．(5，3)作直线l与圆x2＋2＝
12．＞为 ▲ ．
1．在中，，则实数的取值范围
14．＝＋＋＝为
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)
如图，四棱锥－中，为矩形，平面平面， BP＝为的中点
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
16．(本小题满分14分)
α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点A(x1 ，y1 )，α∈(，α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．17．(本小题满分14分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
18． (本小题满分16分)
已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)焦点为焦距为，准线方程为＝2
（1）求椭圆的方程；(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若＝λλ∈[，·的最大值．19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝R，且a＞
（1）＝＝，求函数的极值
（2）设g(x)＝(x－)ex－f(x)．
① 当a＝，(0，＋)，都有g(x)≥1成立，求的值
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1使g(x)＋g′(x)＝成立，求的取值范围
20．(本小题满分16分)
n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜n∈N*，且n≥2，都有＜ 南京市2014届高三 2014.03
注意事项：1．本试卷共．答题前，务必将自己的班级、写在答题考试结束后，交回答题．答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图△ABC为圆的内接三角形＝为圆的弦且∥AC．过点作圆的切线与的延长线交于点与交于点
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；＝＝CF的长.
B．选修4—2：矩阵与变换
的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．
（1）求矩阵A；
（2）若A＝，求x，y的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，(＝2cosθ关于直线θ＝(()对称的曲线的极坐标方程．
D．选修4—5：不等式选讲
已知R，且|x＋，|x－，求证：|x＋
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某申请AB，C三每位申请其中一，且申请其中是等可能的（）求有2人申请A的概率（）申请个数分布列与期望(X)．
23．（本小题满分10分）
n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：
①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．
（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；
（2）求f(n)的表达式．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1
8． 9． 10．60° 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]
二、解答题15．证：（1）设AC连结
因为ABCD为矩形，所以O是的中点是中点平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分
（2）平面平面平面平面＝
所以BC⊥平面平面
因为PB⊥PA，BC∩PB＝，平面PBC，
所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分
因为BE平面
因为BP＝，平面PAC，
所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分
16．，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分所以x2＝cos(α＋)＝αcos－αsin＝－
解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分＝·＝|||cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分
又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－30x2－7＝0
解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分
解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分
由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分
因为α(，)，所以α＋()．
所以S2sin(α＋)(α＋)＝－(2α＋)＝－α．……………………………10分
因为S1＝S2，所以α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分
所以＝－，解得tanαα＝－． 因为α(，)，所以tanα＝2．………14分
解：设∠AMN＝θ，在△A＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分
＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，°)． …………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：设计∠AMN为60(时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分
解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，
∴(x1－x2)2＋3x＝4． …………………………………………2分
MN的中点K(，x2)．
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
∴PK2＝－＋－＝·kPK＝－·＝－1， …………………………………………6分
∴y0－＝－∴(y0－＝－∴(1＋－＝(x0－＝∴(x0－＝．
∵x0－∴x0－x2，
∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分
∴AP2＝x＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
即AP≤2．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．
∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2
∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
顺时针方向旋转60°后得到．
＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1
试题汇总频道：
2014盐城二模各科考试试题：
http://www.yggk.net/zt/yanchengermo/
2014南京二模各科考试试题：
http://www.yggk.net/zt/nanjingermo/
2014淮安三模各科考试试题：
http://www.yggk.net/zt/huaiansanmo/
数学学习 http://www.yggk.net/math/
