2014年湛江市一模
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔
将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、
座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 的共轭复数是
A． B． C． D．
2．设函数 的定义域为A，值域为B，则 =
A． B． C． D．
3．若等差数列 和等比数列 满足 则
A．5 B．16 C．80 D．160
4．“ ”是“ ” 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是
6．若关于 、 的不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是
A． B． C． D． 或
7．若函数 的导函数在区间 上有零点，则 在下列区间单调递增的是
A． B． C． D．
8．定义平面向量的正弦积为 ，（其中 为 、 的夹角），已知△ABC中，
，则此三角形一定是
A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 钝角三角形
二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9． 展开式的常数项的值为________________。
10．点 到双曲线 的渐近线的距离为______________。
11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内 的
的取值范围是________________。
12．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最
大值为 ．
13．若函数 ， 分别是R上的奇函数、偶函数，且满足 ，则比较 、 、 的大小结果是 （从小到大排列）．
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 的参数方程是 ．（ 为参数），以坐标原点O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，则在曲线 上到直线 的距离为 的点有_____________个。
15．（几何证明选讲选做题）
如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=3，CD是⊙O的切
线，BD⊥CD于D,则CD= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ．
的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点。
(1) 求函数 的解析式；
(2) 已知 且 ，求 ．
17．（本小题满分12分）
在某次
数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀。
（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数 、 的值；
区间 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
人数 50 a 350 300 b
(2) 现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成
绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；
(3)在根据(2)抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加
座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列
18．（本小题满分14分）
如图，三棱柱 中，△ABC是正三角形，
，平面 平面 ， 。
(1) 证明： ；
(2) 证明：求二面角 的余弦值；
(3) 设点 是平面 内的动点，求 的最小值．
19．（本小题满分14分）
已知正数数列 中， ，前 项和为 ，对任意 ， 、 、 成等差数列。
(1) 求 和 ；
(2) 设 ，数列 的前 项和为 ，当 时，证明： 。
20．（本小题满分14分）
已知顶点为原点O的抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合
与 在第一和第四象限的交点分别为A、B．
(1) 若△AOB是边长为 的正三角形，求抛物线 的方程；
(2)若 ，求椭圆 的离心率 ；
(3) 点 为椭圆 上的任一点，若直线 、 分别与 轴交于点 和 ，证探究：
当 为常数时， 是否为定值？请证明你的结论．
21．（本小题满分14分）
已知 ．
(1) 若 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
(2) 若 ,求证：当 时， 恒成立；
(3) 设 ，证明： 。
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A
9. 20 10. 11. 12. 72 13. 14. 3 15.
16.解：(1)由函数最大值为2 ，得A=2 。……………………………………………………….1分
由图可得周期 ，……………………………………………………….2分
由 ，得 。 ……………………………………………………….3分
又 ，及 得 …………………….5分
。 ……………………………………………………….6分
（2） ，…………………….8分
．………………….12分
17. 解：（1）80分至85分的人数为： （人）；
95分至100分的人数为： （人）；
（2）用分层抽样的方法从1000人中抽取40人，其中成绩为优秀的学生人数为：
（人）；
（3）在抽取的40人中，85分以下的共有10人，85分及其以上的共有30人，从中抽取的2人中，
成绩优秀的人数X的可能取值分别是：0人、1人、2人，其分布列如下表：
X 0 1 2
P(X)
18.（1）证明：∵ ，△ 是正三角形，
∴ ， ∴ ,
又∵ , ∴△ 是正三角形，
取 中点 ，连结 、 ，则
又∵ ，∴ ,
又∵ ,∴
（2）证明：∵ ，由（1）知 ，
∴ ，∴ ；
∵
∴
∵ , ∴ ，
在
∴
（3）解：延长 至 使 ，连结 、 、 ，
则 就是 的最小值，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点
的坐标为 ， 的坐标是 ，
19. 解：（1）依题意： ， 即 ，∴ .
∴ . 当 时，
②代入①并整理得:
∴ ， ， ， ，…，
把以上 个式子相乘得： ，又∵ ∴
∵当 时， 也满足上式，所以
∵
∴
（2）
∴
∵ ， ∴ ，∴
又
∴ 。
20. 解：（1）设椭圆的右焦点为 ，依题意得抛物线的方程为 ………………………1分
∵△ 是边长为 的正三角形，∴点A的坐标是 ， …………………………3分
代入抛物线的方程 解得 ，故所求抛物线 的方程为 …………………4分
（2）∵ , ∴ 点 的横坐标是
代入椭圆方程解得 ，即点 的坐标是 …………………………5分
∵ 点 在抛物线 上， ∴ ， …………………………6分
将 代入上式整理得： ，
即 ，解得 …………………………7分
∵ ，故所求椭圆 的离心率 。 …………………………8分
（3）证明：设 ，代入椭圆方程得 …………9分
而直线 的方程为 …………………………10分
令 得 。 …………………………11分
在 中，以 代换 得 …………………………12分
∴
∴当 为常数时， 是定值。 …………………………14分
21.解：(1)当 时， ∴ . …………………………1分
∵ 有单调减区间，∴ 有解，即
∵ ，∴ 有解。 …………………………2分
（ⅰ）当 时符合题意；
（ⅱ）当 时，△ ，即 。∴ 的取值范围是 。 …………4分
（2）当 时，设 ，∴ ……5分
∵ ，讨论 的正负得下表：
…………………………6分
∴当 时 有最大值0. 即 恒成立。
∴当 时， 恒成立。 …………………………8分
（3）∵ ，∴
…………………………10分
………12分
由（2）有
∴ …………………………14分
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