惠州市2014届高三第一次调研考试
数学试题(理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面上对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量，，且，则向量( )
A. B. C. D.
4.已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )
A.若,则 B.若,则
C.若则 D.若,则
6.不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B. 0 C. D.
7.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是( )
A. B. C.6 D.9
8.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是( )
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的
数学考试成绩
茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 .
10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项
的和 .
11.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角 .
12.设是上的奇函数,. 当时有,
则 .
13.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,
从处运动到 (单位：)处,则力做的功为 焦.
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离是 .
15.（几何证明选讲选做题）如图,为圆直径,切圆于点, , ,则等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）已知函数.(1)求的最大值和最小正周期；(2) 若，是第二象限的角，求.
17.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：
宣传慰问 义工 总计
20至40岁 11 16 27
大于40岁 15 8 23
总计 26 24 50
(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名?
(2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的
数学期望.
18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离；(2)求二面角的正弦值.
19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（1） 求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.
20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于两点，是
直线上的点，满足，
求点的轨迹方程．
21.（本小题满分14分）已知二次函数,且不等式的解集为.(1) 方程有两个相等的实根,求的解析式.
(2) 的最小值不大于,求实数的取值范围.
(3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.
惠州市2014届高三第一次调研考试
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C A D B
1.【解析】，故，故选C.
2.【解析】，所以点（位于第二象限.故选B.
3.【解析】∵,∴,∴.故选A.
4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线 的方程为,由题意得或.
所以,直线的方程或.故选D.
(二）【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若, 则”.故选C
6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
故面积为.故选A.
7.【解析】设切点为，则 ①，
∵，又切线l过A、M两点，
∴则 ②
联立①、②可解得，从而实数的值为故选D.
8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.
若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有;
若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;
∴共有个.故选B
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5
9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 .
10.【解析】.
11.【解析】直线与直线垂直得，.?
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离是.
15.【解析】连接,切圆于点,.又，是中点，.
三、解答题：
16.解(1)∵
………………………4分
∴的最大值为2,……5分，最小正周期为 ………6分
(2)由(1)知,
所以,即 ………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以 ………12分
17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分
∴ 年龄大于40岁的应该抽取人. ………………………4分
(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为,
∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,
∴ 可能的取值为. ………………………5分
则,, ………8分
∴的分布列为
………10分
18（本小题满分14分）解: (1)取的中点,连、
、
则面,的长就是所要求的距离.
………………………3分
、,
,在直角三角形中,有…6分
（另解:由
(2)连结并延长交于,连结、.
则就是所求二面角的平面角. ……………9分
作于,则
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
,故所求的正弦值是 ……………14分
方法二: (1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……2分
设平面的法向量为
则由
由,……4分
则点到面的距离为……6分
(2) ……8分
设平面的法向量为则由知:
由知:取 ……………10分
由(1)知平面的法向量为 ……………11分
则<>. ……………13分
结合图形可知,二面角的正弦值是 ……………14分
19.（本题满分14分）解：（1）数列是等差数列且，
. ①…2分
成等比数列，即②………4分
由①，②解得或…………5分
………6分
（2）证明;由（1）可得， …………7分
所以. …………8分
所以
. …………10分
，. …………11分
，数列是递增数列，.………13分
. …………14分
20解：（1）设，
由题意,可得,即， ……………2分
整理得，得(舍)或，所以. ……………4分
（2）由（1）知,可得椭圆方程为.
直线方程为 ……………………………………………5分
两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分
解得得方程组的解 ……………………8分
不妨设,设的坐标为则
， …………10分
由得.
于是 …………11分
由得，
化简得， ………………………………13分
将代入得，
由得.因此,点的轨迹方程是. …14分
21解：∵的解集为,
∴的解集为, ……………………1分
∴,且方程的两根为
即，∴ ……2分 （1）∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根
∴,
∴或 …………3分
∵,∴, ∴ …………4分
（2）
∵,∴的最小值为, ……………………5分
则,,解得, …………7分
∵,∴ ………………………………8分
（3）由,得 (※)
①当时,方程(※) 有一解,
函数有一零点； ……………………9分
②当时,
方程(※)有一解, 令
得, ，
i)当，时，（（负根舍去）），函数有一零点. ……………10分
ii) 当时，的两根都为正数，当或时，函数有一零点.11分
ⅲ) 当时，，
③方程(※)有二解,
i) 若,，时,
（（负根舍去）），函数
有两个零点； …12分
ii) 当时，，的两根都为正数，
当或时，
函数有两个零点。……13分
ⅲ) 当时，，恒成立，
取大于0()的任意数，函数有两个零点 …14分
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